Question

如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE
（1）若正方形ABCD的边长为4，BE=3，求EF的长？
（2）求证：AE=EC+CD．

Answer 1

分析：（1）由条件可知∠C=90°，CF=2，CE=1，根据勾股定理就可以求出EF的值．
（2）作FG⊥AE于G，由AF平分∠DAE可以得出AD=AG，DF=GF，∠AGF=90°，通过证明△FGE≌△FCE，可以得出GE=CE，进而可以得出结论AE=EC+CD．

解答：解：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠D=∠C=90°．
∵BE=3，
∴EC=1．
∵F是CD的中点，
∴DF=CF=2．
在Rt△EFC中，由勾股定理得
EF=

CE2+CF2

=

12+22

=

5

．

（2）证明：过F作FG⊥AE于G
∵AF平分∠DAE，∠D=90°，FG⊥AE，

∴∠DAF=∠EAF，FG=FD，
在Rt△AGF与Rt△ADF中，
∵AF为公共边，FG=FD
∴Rt△AGF≌Rt△ADF（HL）．
∴AG=AD，GF=DF．     
∵DF=FC=FG，FE为公共边，
∴△FGE≌△FCE．
∴GE=CE．
∵AE=AG+GE，AG=AD=CD，GE=CE，
∴AE=EC+CD．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理的运用．线段中点的定义．书写全等三角形的时候对应顶点必须写在对应位置上．