【题目】如图,菱形ABCD的顶点A,D在直线l上,∠BAD=60°,以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α(0°<α<30°),得到菱形AB′C′D′,B′C′交对角线AC于点M,C′D′交直线l于点N,连接MN,当MN∥B′D′ 时,解答下列问题:
(1)求证:△AB′M≌△AD′N;
(2)求α的大小.
【答案】(1)见解析;(2)α=15°
【解析】
(1)利用四边形AB′C′D′是菱形,得到AB′=B′C′=C′D′=AD′,根据∠B′AD′=∠B′C′D′=60°,可得△AB′D′,△B′C′D′是等边三角形,进而得到△C′MN是等边三角形,则有C′M=C′N,MB′=ND′,利用SAS即可证明△AB′M≌△AD′N;
(2)由(1)得∠B′AM=∠D′AN,利用∠CAD=∠BAD=30°,即可解决问题.
(1)∵四边形AB′C′D′是菱形,
∴AB′=B′C′=C′D′=AD′,
∵∠B′AD′=∠B′C′D′=60°,
∴△AB′D′,△B′C′D′是等边三角形,
∵MN∥B′C′,
∴∠C′MN=∠C′B′D′=60°,∠CNM=∠C′D′B′=60°,
∴△C′MN是等边三角形,
∴C′M=C′N,
∴MB′=ND′,
∵∠AB′M=∠AD′N=120°,AB′=AD′,
∴△AB′M≌△AD′N(SAS),
(2)由△AB′M≌△AD′N得:∠B′AM=∠D′AN,
∵∠CAD=∠BAD=30°,
∴∠D′AN=∠B′AM=15°,
∴α=15°
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴、y轴分别相交于点A,B,点C在射线OA上,点D在射线OB上,且OD=2OC,以CD的中点为对称中心作△COD的对称图形△DEC.设点C的坐标为(0,n),△DEC在直线AB下方部分的面积为S.
(1)当点E在AB上时,n= ,当点D与点B重合时,n= ;
(2)求S关于n的函数解析式,并直接写出自变量n的取值范围.
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【题目】已知点为平面直角坐标系中不重合的两点,以点为圆心且经过点作,则称点为的“关联点”, 为点的“关联圆”.
(1)已知的半径为1,在点中,的“关联点”为____________(填写字母);
(2)若点,点,为点的“关联圆”,且的半径为,求的值;
(3)已知点,点,是点的“关联圆”,直线与轴,轴分别交于点。若线段上存在的“关联点”,求的取值范围.
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 随机抛掷一枚均匀的硬币,落地后反面一定朝上。
B. 从1,2,3,4,5中随机取一个数,取得奇数的可能性较大。
C. 某彩票中奖率为,说明买100张彩票,有36张中奖。
D. 打开电视,中央一套正在播放新闻联播。
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.点E从点A出发,沿AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动:点D从点C出发,沿C一B一A以每秒2个单位长度的速度向终点A运动,当点E停止运动时,点D随之停止,点E、D同时出发,设点E的运动时间为t(秒)
(1)用含t的代数式表示CE的长;
(2)设点D到CA的距离为h,用含t的代数式表示h;
(3)设△CDE的面积为S(平方单位),求S(平方单位)与t(秒)的函数关系式;
(4)当DE与△ABC的边平行或垂直时,直接写出t的值.
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【题目】如图,已知:抛物线交x轴于A,C两点,交y轴于点B,且OB=2CO.
(1)求二次函数解析式;
(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N,且点N在点M的左侧,过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点,当四边形MNHG为矩形时,求该矩形周长的最大值;
(3) 抛物线对称轴上是否存在点P,使得△ABP为直角三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏,铁环是圆形的,铁环向前滚动时,铁环钩保持与铁环相切.将这个游戏抽象为数学问题,如图2.已知铁环的半径为25 cm,设铁环中心为O,铁环钩与铁环相切点为M,铁环与地面接触点为A,∠MOA=α,且sinα=.
(1)求点M离地面AC的高度BM;
(2)设人站立点C与点A的水平距离AC=55 cm,求铁环钩MF的长度.
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【题目】如图1,G为△ABC纸片的重心,DG∥AC交BC于点D,连结BG,剪去△BGD纸片,剩余部分纸片如图2所示,若原△ABC纸片面积为5,则图2纸片的面积为_____.
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【题目】如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点.若AM=,则线段BN的长为( )
A.1B.C.2D.
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