Question

在任意三角形ABC边上画正方形ABDE、ACGF，连接BE、FC、EF，并取BE、FC、EF、BC的中点I、J、H、K，连接IH、HJ、JK、IK，求证：HIKJ为正方形．

Answer 1

考点：正方形的判定,全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：证明题

分析：连接BF、CE，根据正方形的性质可得AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，再求出∠BAF=∠EAC，然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，全等三角形对应角相等可得∠ABF=∠AEC，再求出BF⊥CE，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得HI∥BF，HI=

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BF，KJ∥BF，KJ=

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BF，IK∥CE，IK=

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CE，HJ∥CE，HJ=

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CE，再求出HI=IK=KJ=HJ且HI⊥IK，然后根据正方形的判定方法解答．

解答：证明：如图，连接BF、CE，
在正方形ABDE、ACGF中，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠EAF=∠CAF+∠EAF，
即∠BAF=∠EAC，
在△ABF和△AEC中，

AB=AE ∠BAF=∠EAC AC=AF

，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴BF=CE，∠ABF=∠AEC，
∴∠BEC+∠EBF=∠ABE+∠AEB=90°，
∴BF⊥CE，
∵BE、FC、EF、BC的中点分别为I、J、H、K，
∴HI∥BF，HI=

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BF，KJ∥BF，KJ=

1

2

BF，IK∥CE，IK=

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2

CE，HJ∥CE，HJ=

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2

CE，
∴HI=IK=KJ=HJ且HI⊥IK，
∴四边形HIKJ为正方形．

点评：本题考查了正方形的判定，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．