如图a,P为△ABC内任一点,试证明∠BPC=∠ABP+∠ACP+∠A.
变式一 如图,若点P为△ABC两角∠ABC和∠ACB的平分线的交点,则∠BPC和∠A有怎样的关系?
变式二 如图,“变式一”已知不动,另补上“若点Q是它们外角平分线的交点”,则∠BPC和∠Q有何关系?
变式三 一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B、∠C分别是21°和32°.检验工人量得∠BDC=148°.就断定这个零件不合格,这是为什么?
证明 如上图 b,延长BP交AC于点D.∵∠ PDC是△ABD的一个外角,∴∠ PDC=∠A+∠ABP.同理 ∠ BPC=∠PDC+∠ACP.∴∠ BPC=∠ABP+∠ACP+∠A.变式一 解 由已知,得∠ 1=![]() ![]() 在△ BPC中,∠1+∠2+∠BPC=180°.∴∠ BPC=180°-![]() 在△ ABC中,∠ABC+∠ACB+∠A=180°.∴ ![]()
![]() 变式二 解 由“变式一”可知:∠ BPC=90°+![]() 易知:∠ Q=90°-![]() ∠BPC+∠Q=180° 变式三 解 连接 BC,点D是△ABC内任一点,则∠BDC=∠ABD+∠ACD+∠A,本题就是因为![]() |
∠ BPC与∠ABP、∠ACP、∠A这三个角既不在同一个三角形中,又不存在对顶角、邻补角、外角等关系,已知条件很简单、难以直接得出别的结论,所以应考虑作辅助线,使这些角发生联系.由图形中四个角的位置特点和所说明等式特点想到“三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和”的性质,故延长 BP交AC于点D,于是有∠BPC=∠ACP+∠PDC,又∠PDC=∠A+∠ABP.从而问题得以解决.由已知条件和所求部分,应想到∠ BPC与∠1、∠2的关系:∠BPC=180°-(∠1+∠2).而∠ 1=![]() ![]() 到此应想到∠ ABC、∠ACB与∠A的关系:∠ABC+∠ACB+∠A=180°. |
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