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如图a,P为△ABC内任一点,试证明∠BPC=∠ABP+∠ACP+∠A.

        

变式一 如图,若点P为△ABC两角∠ABC和∠ACB的平分线的交点,则∠BPC和∠A有怎样的关系?

变式二 如图,“变式一”已知不动,另补上“若点Q是它们外角平分线的交点”,则∠BPC和∠Q有何关系?

变式三 一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B、∠C分别是21°和32°.检验工人量得∠BDC=148°.就断定这个零件不合格,这是为什么?

答案:略
解析:

证明

 

如上图b,延长BPAC于点D

∵∠PDC是△ABD的一个外角,

∴∠PDC=A+∠ABP

同理 ∠BPC=PDC+∠ACP

∴∠BPC=ABP+∠ACP+∠A

变式一

 

由已知,得∠1=ABC,∠2=ACB

在△BPC中,∠1+∠2+∠BPC=180°.

∴∠BPC=180°-(ABC+∠ACB)

在△ABC中,∠ABC+∠ACB+∠A=180°.

    

变式二

 

由“变式一”可知:∠BPC=90°+A

易知:∠Q=90°-A,故∠BPC+∠Q=

BPC+∠Q=180°

变式三

 

连接BC,点D是△ABC内任一点,则∠BDC=ABD+∠ACD+∠A,本题就是因为,故判定这个零件不合格.


提示:

BPC与∠ABP、∠ACP、∠A这三个角既不在同一个三角形中,又不存在对顶角、邻补角、外角等关系,已知条件很简单、难以直接得出别的结论,所以应考虑作辅助线,使这些角发生联系.

由图形中四个角的位置特点和所说明等式特点想到“三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和”的性质,故延长BPAC于点D,于是有∠BPC=ACP+∠PDC,又∠PDC=A+∠ABP.从而问题得以解决.

由已知条件和所求部分,应想到∠BPC与∠1、∠2的关系:∠BPC=180°-(1+∠2)

而∠1=ABC,∠2=ACB

到此应想到∠ABC、∠ACB与∠A的关系:∠ABC+∠ACB+∠A=180°.


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OD
AO
OE
BO
OF
CO
等于(  )

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