Question

设对每个正的奇数n，n¹²-n⁸-n⁴+1都能被2^k整除，则正整数k的最大值是

 

．

Answer 1

考点：数的整除性

专题：

分析：首先把n¹²-n⁸-n⁴+1分组分解因式，化为（n⁴+1）（n²+1）²（n+1）²（n-1）²，再进一步根据每一个因式所含因数2的个数探讨得出答案即可．

解答：解：n¹²-n⁸-n⁴+1
=n⁸（n⁴-1）-（n⁴-1）
=（n⁴-1）（n⁸-1）
=（n²+1）（n²-1）（n⁴+1）（n⁴-1）
=（n⁴+1）（n²+1）²（n+1）²（n-1）²，
∵n是正奇数，
∴每一个因式的里面都含有因数2，
因此含有因数2的个数为1+2+2+2=7个，
也就是n¹²-n⁸-n⁴+1都能被2⁷整除，正整数k的最大值是7．
故答案为：7．

点评：此题考查数的整除性，巧妙利用平方差公式因式分解，找出因式中2的个数解决问题．