Question

19．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，求△BEQ周长的最小值？

Answer 1

分析 由正方形的性质得出点B与点D关于直线AC对称，得出DE的长即为DQ+QE的最小值，由勾股定理求出DE，即可得出结果．

解答 解：连接DQ，如图所示：

∵EB=AB-AE=1是定值，
∴QE+QB最小时，△QBE的周长最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
∴QE+QB=QE+DQ，
∴当D、Q、E共线时，DQ+QE最小，最小值为DE，
∵∠DAE=90°，AB=AD=4，AE=3，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴QB+QE的最小值为DE，最小值为5，
∴△BEQ的最小值=5+1=6．

点评 本题考查了正方形的性质、最小值问题、勾股定理、轴对称的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．