Question

【题目】如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3

【解析】

（1）连接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）OD=r，OF=8-r，在Rt△DOF中根据勾股定理得出方程，求出即可．

解：

（1）证明：连接OA，

∵D为BE的下半圆弧的中点，OD过圆心，

∴OD⊥BE，

∴∠ODF+∠OFD=90°，

∵CA=CF，

∴∠CAF=∠CFA，

而∠CFA=∠OFD，

∴∠ODF+∠CAF=90°，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，

∴OA⊥AC，OA是⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r，则OF=4﹣r，

在Rt△ODF中，，解得r1=3，r2=1（舍去），

即⊙O的半径为3．