Question

2．如图1，?OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC=5，反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象经过点A（1，4）．
（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；
（2）如图2，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP．
①求△AOP的面积；
②在?OABC的边上是否存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；
（2）①延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y=2求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出PD、EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论；
②假设存在，以OP为直径作圆，交OC于点M₁，交OA于点M₂，通过解直角三角形和勾股定理求出点M₁、M₂的坐标，此题得解．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象经过点A（1，4），
∴m=1×4=4，
∴反比例函数的关系式为y=$\frac{4}{x}$（x＞0）．
∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC=5，点A（1，4），
∴点C（5，0），点B（6，4）．
（2）①延长DP交OA于点E，如图3所示．
∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），
∴点D（$\frac{11}{2}$，2）．
令y=$\frac{4}{x}$中y=2，则x=2，
∴点P（2，2），
∴PD=$\frac{11}{2}$-2=$\frac{7}{2}$，EP=ED-PD=$\frac{3}{2}$，
∴S_△AOP=$\frac{1}{2}$EP•（y_A-y_O）=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×（4-0）=3．
②假设存在．以OP为直径作圆，交OC于点M₁，交OA于点M₂，连接PM₁、PM₂，如图4所示．
∵点P（2，2），O（0，0），
∴点M₁（2，0）；
∵点A（1，4），点O（0，0），
∴直线OA的关系式为y=4x．
设点M₂（n，4n），
∵S_△AOP=3，OA=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴PM₂=$\sqrt{（n-2）^{2}+（4n-2）^{2}}$=$\sqrt{17{n}^{2}-20n+8}$=$\frac{2{S}_{△AOP}}{OA}$=$\frac{6\sqrt{17}}{17}$，
即289n²-340n+100=0，
解得：n=$\frac{10}{17}$，
∴点M₂（$\frac{10}{17}$，$\frac{40}{17}$）．
故在?OABC的边上存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形，点M的坐标为（2，0）或（$\frac{10}{17}$，$\frac{40}{17}$）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式、平行四边形的性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式；（2）①求出EP长度；②以OP为直径作圆，找出点M的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过作圆来确定点的数目与位置是关键．