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如图是一个形如正六边形的点阵,它的中心是一个点,算第一层,第二层每边有两个点,第三层每边有三个点,…,依此类推.

(1)填写下表:

层数
1
2
3
4

该层对应的点数
1
6
12
18

所有层的总点数
1
 
 
 

(2)写出第n层所对应的点数(n≥2);
(3)写出n层的正六边形点阵的总点数(n≥2);
(4)如果点阵中所有层的总点数为331,请求出它共有几层?

(1)7、19、37;(2);(3);(4)11层

解析试题分析:根据六边形有六条边,则第一层有1个点,第二层有2×6-6=6(个)点,第三层有3×6-6=12(个)点,根据这个特征得到规律,再把这个规律应用于解题即可.
(1)第一层上的点数为1;
第二层上的点数为6=1×6;
第三层上的点数为6+6=2×6;
第四层上的点数为6+6+6=3×6;

第n层上的点数为(n-1)×6;
则2层六边形点阵的总点数为1+6=7
3层六边形点阵的总点数为1+6+12=19
4层六边形点阵的总点数为1+6+12+18=37;
(2)n层六边形点阵的总点数为1+1×6+2×6+3×6+…+(n-1)×6
=1+6[1+2+3+4+…+(n-1)]=1+6[(1+2+3+…+n-1)+(n-1+n-2+…+3+2+1)]÷2

(3)由题意得
解得(舍去)
答:共有11层.
考点:找规律-图形的变化
点评:对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

21、正方体是特殊的长方体,又称“立方体”、“正六面体”.
(1)正方体是由
6
个面围成的,它有
8
个顶点,
12
条棱
(2)用一个平面去截一个正方体,截面可能是几边形?(写出所有可能的情况)
(3)如图是由几个小正方体所搭几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数.请你画出这个几何体的主视图、左视图.

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科目:初中数学 来源: 题型:

课题:探究能拼成正多边形的三角形的面积计算公式.
实验:
(1)如图1,三角形的三边长分别为a、b、c,∠A=60°,现将六个这样的三角形(设面积为S6)拼成一个六边形,由于大六边形三个角都是∠B+∠C=120°,所以由a边围成了一个大的正六边形,其面积可计算出为
 
;由于所围成的小六边形的边长都是
 
,其面积为
 
,由此可得S6=
 

(2)如图2,三角形的三边长分别为a、b、c,∠A=120°,试用这样的三角形拼成一个正三角形(设面积为S3),先画出这个正三角形,再推出S3的计算公式;
推广:
(3)对于三角形的三边长分别为a、b、c,当∠A取什么值时,能拼成一个任意正n边形吗?如果能,试写出∠A和三角形的面积Sn的表达式;如果不能,请简要说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:

课题:探究能拼成正多边形的三角形的面积计算公式.

1.如图1,三角形的三边长分别为a、b、c,∠A=60°,现将六个这样的三角形(设面积为)拼成一个六边形,由于大六边形三个角都是∠B+∠C=120°,所以由a边围成了一个大的正六边形,其面积可计算出为          ;由于所围成的小六边形的边长都是        ,其面积为            ,由此可得                   .

2.如图2, 三角形的三边长分别为a、b、c,∠A=120°,试用这样的三角形拼成一个正三角形(设面积为),先画出这个正三角形,再推出的计算公式;

3.推广:

对于三角形的三边长分别为a、b、c,当∠A取什么值时,能拼成一个任意正边形吗?如果能,试写出∠A和三角形的面积的表达式;如果不能,请简要说明理由.

 

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科目:初中数学 来源:2011-2012学年江西省中等学校招生统一考试数学卷(二) 题型:解答题

课题:探究能拼成正多边形的三角形的面积计算公式.
【小题1】如图1,三角形的三边长分别为a、b、c,∠A=60°,现将六个这样的三角形(设面积为)拼成一个六边形,由于大六边形三个角都是∠B+∠C=120°,所以由a边围成了一个大的正六边形,其面积可计算出为         ;由于所围成的小六边形的边长都是       ,其面积为           ,由此可得                   .
【小题2】如图2, 三角形的三边长分别为a、b、c,∠A=120°,试用这样的三角形拼成一个正三角形(设面积为),先画出这个正三角形,再推出的计算公式;
【小题3】推广:
对于三角形的三边长分别为a、b、c,当∠A取什么值时,能拼成一个任意正边形吗?如果能,试写出∠A和三角形的面积的表达式;如果不能,请简要说明理由.

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科目:初中数学 来源:2011年江西省等学校招生统一考试数学卷(二) 题型:解答题

课题:探究能拼成正多边形的三角形的面积计算公式.

1.如图1,三角形的三边长分别为a、b、c,∠A=60°,现将六个这样的三角形(设面积为)拼成一个六边形,由于大六边形三个角都是∠B+∠C=120°,所以由a边围成了一个大的正六边形,其面积可计算出为          ;由于所围成的小六边形的边长都是        ,其面积为            ,由此可得                    .

2.如图2, 三角形的三边长分别为a、b、c,∠A=120°,试用这样的三角形拼成一个正三角形(设面积为),先画出这个正三角形,再推出的计算公式;

3.推广:

对于三角形的三边长分别为a、b、c,当∠A取什么值时,能拼成一个任意正边形吗?如果能,试写出∠A和三角形的面积的表达式;如果不能,请简要说明理由.

 

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