Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2a与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴将于点C（0，﹣）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D（2，n）是抛物线上的一点，在y轴左侧的抛物线上存在点T，使△TAD的面积等于△TBD的面积，求出所有满足条件的点T的坐标；

（3）直线y＝kx﹣k+2，与抛物线交于两点P、Q，其中在点P在第一象限，点Q在第二象限，PA交y轴于点M，QA交y轴于点N，连接BM、BN，试判断△BMN的形状并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（﹣3，）与（﹣，﹣；（3）△BMN是直角三角形，证明见解析.

【解析】

(1)用待定系数法即能求出抛物线的解析式；
(2)△TAD与△TBD有公共底边TD,面积相等即点A.点B到直线TD距离相等。根据T的位置关系分类讨论：在点A左侧时,根据“平行线间距离处处相等”可得AB∥TD，易得点T的纵坐标，代入解析式即求出横坐标；在点A右侧时，分别过A.B作TD的垂线段，构造全等三角形，证得TD与x轴交点为AB中点，求出TD解析式，再与抛物线解析式联立方程组求出T；
(3)联立直线y=kxk+2与抛物线解析式,整理得关于x的一元二次方程,根据韦达定理得到P、Q横坐标和和与积的式子(用k表示).设M(0,m)、N(0,n),求出直线AP、AQ的解析式(分别用m、n表示).分别联立直线AP、AQ与抛物线方程,求得P、Q的横坐标(分别用m、n表示),即得到关于m、n、k关系的式子,整理得mn=1,即OMON=1,易证△BOM∽△NOB,进而求出∠MBN=90°.

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2a经过点B（1，0）、C（0，）

∴

解得：

∴抛物线的解析式为：.

（2）当x＝2时，n＝×22+×2＝

∴D（2，）

①当点T在点A左侧时，如图1，

∵S△TAD＝S△TBD，且△TAD与△TBD有公共底边为TD

∴AB∥TD，即TD∥x轴

∴yT＝yD＝

x2+x＝ 解得：x1＝﹣3，x2＝2（即点D横坐标，舍去）

∴T（﹣3，）

②当点T在点A右侧时，如图2，设DT与x轴交点为P，过A作AE⊥DT于E，过B作BF⊥DT于F

∵S△TAD＝S△TBD，且△TAD与△TBD有公共底边为TD

∴AE＝BF

在△AEP与△BFP中，

∴△AEP≌△BFP（AAS）

∴AP＝BP 即P为AB中点

由x2+x＝0 解得：x1＝﹣2，x2＝1

∴A（﹣2，0）

∴P（，0）

设直线DP：y＝kx+c

解得：

∴直线DT：y＝

解得：（即点D，舍去），

∴T（﹣，﹣）

综上所述，满足条件的点T的坐标为（﹣3，）与（﹣，﹣）

（3）△BMN是直角三角形，证明如下：

设x1为点P横坐标，x2为点Q的横坐标

整理得：x2+（1﹣8k）x+8k﹣18＝0

∴x1+x2＝8k﹣1，x1x2＝8k﹣18

设M（0，m），N（0，n）则OM＝m，ON＝﹣n

∴直线AM解析式：y＝，直线AN解析式：y＝

解得：（舍去），

∴P（1+4m，2m2+m）

同理可得：Q（1+4n，2n2+n）

∴

整理得：mn＝﹣1

∴m|n|＝1 即OMON＝1

又OB＝1，即OMON＝OB2

∴

∴△BOM∽△NOB

∴∠OBM＝∠ONB

∴∠MBN＝∠OBM+∠OBN＝∠ONB+∠OBN＝90°

∴△BMN是直角三角形