Question

1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（2m，m），翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE，设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C，F，D的抛物线为y=ax²+bx+c．
（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；
（2）若点G的坐标为（0，-3），求该抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使PM=$\frac{1}{2}$EA？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质得出CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，设CD=x，则DF=DB=2m-x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果；
（2）证明△OEG∽△CDG，得出比例式，求出m的值，得出C、D的坐标，作FH⊥CD于H，证明△FCH∽△DCF，得出比例式求出F的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（3）由直角三角形斜边上的中线性质得出MF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$EA，点P与点F重合，得出点P的坐标；由抛物线的对称性得另一点P的坐标即可．

解答 解：（1）根据折叠的性质得：CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，∠CED=∠AED，
设CD=x，则DF=DB=2m-x，
根据勾股定理得：CF²+DF²=CD²，
即m²+（2m-x）²=x²，
解得：x=$\frac{5}{4}$m，
∴点D的坐标为：（$\frac{5}{4}$m，m）；
（2）方法一：
∵四边形OABC是矩形，
∴OA=2m，OA∥BC，
∴∠CDE=∠AED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD=$\frac{5}{4}$m，
∴AE=CE=$\frac{5}{4}$m，
∴OE=OA-AE=$\frac{3}{4}$m，
∵OA∥BC，
∴△OEG∽△CDG，
∴$\frac{OE}{CD}=\frac{OG}{CG}$，
即$\frac{\frac{3}{4}m}{\frac{5}{4}m}=\frac{3}{3+m}$，
解得：m=2，
∴C（0，2），D（$\frac{5}{2}$，2），
作FH⊥CD于H，如图1所示：
则∠FHC=90°=∠DFC，
∵∠FCH=∠FCD，
∴△FCH∽△DCF，
∴$\frac{FH}{DF}=\frac{CH}{CF}=\frac{CF}{CD}$=$\frac{2}{\frac{5}{2}}$=$\frac{4}{5}$，
即$\frac{FH}{\frac{3}{2}}=\frac{CH}{2}=\frac{2}{\frac{5}{2}}$，
∴FH=$\frac{6}{5}$，CH=$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$+2=$\frac{16}{5}$，
∴F（$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$），
把点C（0，2），D（$\frac{5}{2}$，2），F（$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$）代入y=ax²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}&{\;}\\{\frac{25}{4}a+\frac{5}{2}b+2=2}&{\;}\\{\frac{64}{25}a+\frac{8}{5}b+c=\frac{16}{5}}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{5}{6}$，b=$\frac{25}{12}$，c=2，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{25}{12}$x+2；
方法二：
由（1）得，A（2m，0），C（0，m），D（$\frac{5}{4}$m，m），G（0，-3），
根据折叠的性质：AC⊥DG，∴K_AC×K_DG=-1，
∴$\frac{m}{-2m}×\frac{m+3}{\frac{5}{4}m}=-1$，
∴m=2，C（0，2），D（$\frac{5}{2}$，2），
作FH⊥CD于H，则∠FHC=∠DFC=90°，
∵∠FCH=∠FCD，
∴△FCH∽△DCF，
∴$\frac{FH}{DF}=\frac{CH}{CF}=\frac{CF}{CD}=\frac{2}{\frac{5}{2}}=\frac{4}{5}$，即$\frac{FH}{\frac{3}{2}}=\frac{CH}{2}=\frac{4}{5}$，
∴FH=$\frac{6}{5}$，CH=$\frac{8}{5}$，∴F（$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$），
∵抛物线：y=ax²+bx+c，
∴（$\frac{8}{5}$）²a+$\frac{8}{5}$b+c=$\frac{16}{5}$，（$\frac{5}{2}$）²a+$\frac{5}{2}$b+c=2，c=2，
∴a=-$\frac{5}{6}$，b=$\frac{25}{12}$，c=2，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{5}{6}$x²+$\frac{25}{12}$x+2．

（3）存在；点P的坐标为：（$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$），或（$\frac{9}{10}$，$\frac{16}{5}$）；理由如下：
如图2所示：∵CD=CE，CE=EA，
∴CD=EA，
∵线段CD的中点为M，∠DFC=90°，
∴MF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$EA，点P与点F重合，
∴点P的坐标为：（$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$）；
由抛物线的对称性得另一点P的坐标为（$\frac{9}{10}$，$\frac{16}{5}$）；
∴在线段CD上方的抛物线上存在点P，使PM=$\frac{1}{2}$EA，点P的坐标为：（$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$），或（$\frac{9}{10}$，$\frac{16}{5}$）．

点评 本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、用待定系数法求二次函数的解析式、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要作辅助线两次证明三角形相似才能得出相关点的坐标求出抛物线的解析式．