Question

19．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3分别与x轴、y轴交于点A，点B，点P在射线BA上（点P不与点A、B重合），过点P分别作PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，设四边形PCOD的周长为d，点P的横坐标是m．
（1）求线段AB的长；
（2）当PD=$\frac{1}{2}$AB时，求点P的坐标；
（3）求d与m之间的函数关系式；
（4）直接写出四边形PCOD是正方形时m的值．

Answer 1

分析 （1）分别将x=0、y=0代入直线AB的解析式中求出相当于的y、x的值，从而得出点A、B的坐标，再利用勾股定理即可得出结论；
（2）找出点P、D的坐标，根据PD=$\frac{1}{2}$AB找出关于m的方程，解方程求出m的值，将其代入点P的坐标中即可；
（3）分点P在x轴的上方和x轴的下方两种情况考虑，代入矩形的周长公式即可得出结论；
（4）根据正方形的性质找出关于m的方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）当y=0时，-$\frac{3}{4}$x+3=0，解得：x=4，
∴点A的坐标为（4，0），即OA=4．
当x=0时，y=3，
∴点B的坐标为（0，3），即OB=3，
在Rt△ABO中，∠AOB=90°，
由勾股定理，得AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5．
（2）∵点P的横坐标是m，
∴点P的坐标为（m，-$\frac{3}{4}$m+3），点D的坐标为（m，0），
∵PD=$\frac{1}{2}$AB，
∴|-$\frac{3}{4}$m+3|=$\frac{5}{2}$，
解得：m=$\frac{2}{3}$或m=$\frac{22}{3}$．
∴点P的坐标是（$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{22}{3}$，-$\frac{5}{2}$）．
（3）当0＜m＜4时，d=2（PC+PD）=2（-$\frac{3}{4}$m+3+m）=$\frac{1}{2}$m+6；
当m＞4时，d=2（PC+PD）=2（$\frac{3}{4}$m-3+m）=$\frac{7}{2}$m-6．
（4）∵四边形PCOD是正方形，
∴OD=PD，即m=|-$\frac{3}{4}$m+3|，
解得：m=$\frac{12}{7}$或m=-12（舍去）．
故当四边形PCOD是正方形时，m的值为$\frac{12}{7}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、解含绝对值符号的一元一次方程以及矩形的周长公式，解题的关键是：（1）求出点A、B的坐标；（2）由线段间的关系找出关于m的方程；（3）分情况考虑；（4）利用正方形的性质找出关于m的方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据线段间的关系找出含绝对值符号的一元一次方程是关键．