Question

如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）。
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝______，PD＝______；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
（3）如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长。

Answer 1

解：（1） QB＝8-2t，PD＝t； （2）不存在．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10， ∵ PD∥BC， ∴△APD∽△ACB， ∴，即：， ∴AD=t， ∴BD＝AB-AD＝10-t， ∵ BQ∥DP， ∴当BQ＝DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8-2t＝t，解得：， 当t＝时，PD=，BD＝10-， ∴DP≠BD， ∴□PDBQ不能为菱形， 设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ＝8-vt，PD＝t，BD＝10-t， 要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝BQ， 当PD＝BD时，即， 解得：t=， 当PD＝BQ时，t＝时，即，解得：v=；  （3）如图2，以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 依题意，可知0≤t≤4，当t＝0时，点M1的坐标为（3，0）； 当t＝4时，点M2的坐标为（1，4），设直线M1M2的解析式为y＝kx＋b， ∴， 解得：， ∴直线M1M2的解析式为y＝-2x＋6， ∵ 点Q（0，2t），P（6-t，0）， ∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标为（，t）， 把x＝，代入y＝-2x＋6，得y＝-2×＋6＝t， ∴点M3在直线上， 过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N＝4，M1N＝2， ∴M1M2＝2， ∴线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度。