Question

如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长12米，下底长18米，高8米．
（1）求梯形的中位线的长；
（2）在梯形两腰中点连线（虚线）处有一条横向通道，上下底之间有两条纵向通道，各条通道的宽度均为x米．
①若通道的总面积等于42平方米，求通道的宽；
②按要求通道的宽不能超过1米，且修建三条通道应付的工资合计为25

3

x元．花坛其余部分应付的工资为每平方米

3

元，当通道的宽度为多少米时，所建花坛应付的总工资最少？最少工资是多少元？

Answer 1

分析：（1）根据梯形的中位线的长=（上底+下底）÷2进行计算；
（2）①两条纵向通道的面积=2×8x，横向通道的面积=中位线×高，通道的总面积等于两条纵向通道的面积+横向通道的面积-2x²；根据题意列出方程，求出x即为通道的宽；
②根据题意列出一个二次函数的解析式，求得函数的最小值，即为最少费用．

解答：解：（1）梯形的中位线的长为（上底+下底）÷2=15米；（3分）

（2）①依题意：16x+15x-2x²=42（6分）
解得x₁=1.5x₂=14（舍去）（8分）
∴通道的宽为1.5米．
②设修建花坛应付的总工资为y元．
y=

3

(2x2-31x+120)+25

3

x（10分）=2

3

(x-1.5)2+115.5

3

（11分）
抛物线的开口向上，对称轴x=1.5
0＜x≤1，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小
∴当x=1时，总费用最少．最少费用为116

3

元（13分）

点评：本题考查的知识比较全面，需要用到梯形中位线定理以及梯形面积的求法，还考查学生是否能够运用梯形的中位线定理把实际问题进行转换求解．此题的难度较大，是中考压轴题．