Question

13．四边形ABCD是正方形，E，F为AD，CD上的点，且CF=DE，点M，N，G，H是四边形ABFE各边的中点，求证：四边形MNGH是正方形．

Answer 1

分析 结合条件可证明△ADF≌△BAE，可证明AF=BE，且AF⊥BE，可证明四边形MNGH为正方形貌．

解答 证明：
如图，连接AF、BE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠BAE=∠D=90°
∵CF=DE，
∴AE=DF，
在△ADF和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠BAE}\\{DF=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BAE（SAS），
∴AF=BE，∠DAF=∠ABE，
∵∠BAE=90°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠ABE=90°，
∴AF⊥BE，
∵H、G为AE、EF的中点，
∴HG∥AF，且HG=$\frac{1}{2}$AF，
同理可得MN∥AF，MN=$\frac{1}{2}$AF，
∴MN∥HG，且MN=HG，
同理MH=GN，
∴MH=HG，
∴四边形MNGH为菱形，
又∵AF⊥BE，
∴MH⊥HG，
∴∠MHG=90°，
∴四边形MNGH为正方形．

点评 本题主要考查正方形的性质和判定，证得AE=BF且AE⊥BF是解题的关键，比较基础，注意判定方法的灵活运用．