Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F

    (1)求证：OE∥AB；

    (2)求证：EH=AB；

(3)若AD与⊙O也相切，如图二，已知BE(BC)=5，BH=3，求⊙O的半径

                                    图一                                    图二

Answer 1

（1）∵ABCD是等腰梯形 ∴∠B=∠C （1分）

∵OE=OC ∴∠OEC=∠C              （1分）

∴∠OEC=∠B  ∴OE∥AB             （1分）

（2）连结OF

∵AB与⊙O相切与点F   ∴∠OFB=90°（1分）

又∵EH⊥AB ，OE∥AB

∴∠OEH=∠EHF=90°

∴四边形OFHE是矩形                （1分）

∵OE=OF

∴四边形OFHE是正方形              （1分）

∴EH=OE=              （1分）

（3）连结OF、OB

∵AD与圆相切

∴∠ADC=90°

∵AD∥BC

∴∠DCB=90°

∵∠OFB=∠OCB=90°,OF=OC ,OB=OB

∴⊿OFB≌⊿OBC

∴BF=BC=5  （1分）

∵BH=3

∴HF=2 ,HC=4

过点O作OM⊥CH与点M，在⊿OMC中设OC=r

可得r²-(4-r)²=2²     （1分）

∴r=2.5             （1分）         ∴⊙O半径是2.5