Question

（2012•相城区一模）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点．
（1）求出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）观察图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若点Q在第一象限中的双曲线上运动，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

Answer 1

分析：（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；
（2）根据正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点，得出交点两侧两函数大小正好不同，结合图象得出即可．
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQOQ=PC，而点P（-1，-2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．

解答：解：（1）设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），
将点M（-2，-1）坐标代入得k=

1

2

，所以正比例函数解析式为y=

1

2

x，
设反比例函数解析式为y=

k1

x

（k₁≠0），
将点M（-2，-1）坐标代入得k₁=2
所以反比例函数解析式为y=

2

x

；

（2）根据正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点，结合图象得出：
当-2＜x＜0或x＞2时，正比例函数值大于反比例函数值．

（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，
而点P（-1，-2）是定点，所以OP的长也是定长，
所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，

2

n

），
由勾股定理可得OQ²=n²+

4

n2

=n²+

4

n2

-4+4=（n-

2

n

）²+4，
所以当（n-

2

n

）²=0即n-

2

n

=0时，OQ²有最小值4，
又因为OQ为正值，所以OQ与OQ²同时取得最小值，
所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=

5

，
所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）=2（

5

+2）=2

5

+4．

点评：此题考查了一次函数和反比例函数二次函数的图形和性质，综合性比较强．要注意对各个知识点的灵活应用．