Question

13．如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

Answer 1

分析 过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等边对等角得出AD=BD=12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AD即可．

解答 解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以8海里的圆内或圆上即可，
如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠CAD=30°，∠CAB=60°，
∴∠BAD=60°-30°=30°，∠ABD=90°-60°=30°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴BD=AD=12海里，
∵∠CAD=30°，∠ACD=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AD=6海里，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$≈10.392＞8，
即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．

点评 考查了勾股定理的应用和解直角三角形，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．