Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．
（1）试求△ABC的面积；
（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；
（3）设AD=x，当△BDG是等腰三角形时，求出AD的长．

Answer 1

分析：（1）作底边上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面积．
（2）根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边DE的长度．
（3）根据△ADE∽△ABC得

AD

AB

=

DE

BC

，求出AD的长．

解答：解：（1）过A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=

1

2

BC=3，
∴AH=

AB2-BH2

=

52-32

=4，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AH=

1

2

×6×4=12．

（2）令此时正方形的边长为a，
∵DE∥BC，
∴

a

6

=

4-a

4

，
∴a=

12

5

．

（3）当AD=x时，由△ADE∽△ABC得

AD

AB

=

DE

BC

，
即

x

5

=

DE

6

，解得DE=

6

5

x，
当BD=DG时，5-x=

6

5

x，x=

25

11

，
当BD=BG时，

5-x

5

=

3 5 x

4

，解得x=

20

7

，
当BG=DG时，

5-x 2

4

=

6 5 x

5

，解得x=

125

73

，
∴当△BDG是等腰三角形时，AD=

25

11

或

20

7

或

125

73

．

点评：本题考查了正方形、等腰三角形的性质，相似比等相关知识．综合性较强，解题时要仔细．