Question

14．已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，试说明一下论断正确的理由：
（1）∠BDC=90°；
（2）BF=AC；
（3）CE=$\frac{1}{2}BF$．

Answer 1

分析 （1）由线段垂直平分线的性质得出BD=CD，由等腰三角形的性质得出∠DCB=∠ABC=45°，再由三角形内角和定理求出∠BDC=90°即可；
（2）由ASA证△BDF≌△CDA，由全等三角形的性质即可得出结论；
（3）在△ABC中由垂直平分线可得AB=BC，即点E是AC的中点，再结合（2）的结论即可求解．

解答 证明：（1）∵DH垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴∠DCB=∠ABC=45°，
∴∠BDC=180°-45°-45°=90°；
（2）∵DH垂直平分BC，且∠ABC=45°，
∴BD=DC，且∠BDC=90°，
∵∠A+∠ABF=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠ABF=∠ACD，
在△BDF和△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠CDA}&{\;}\\{BD=CD}&{\;}\\{∠DBF=∠DCA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC．
（3）由（1）得BF=AC，
∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC，
∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，
在△ABE和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBE}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\\{∠AEB=∠CEB=90°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴CE=AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BF．

点评 本题是三角形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．