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如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠BAC的平分线交BC于点O,以O为圆心做圆,⊙O与AC相切于点D.
(1)试判断AB与⊙O的位置关系,并加以证明.
(2)在Rt△ABC中,若AC=6,AB=3,求切线AD的长.
考点:切线的判定,切线的性质
专题:
分析:(1)过点O作OE⊥AB,垂足为E,连接OD,根据角平分线的性质可得出OE=OD,继而可得出结论;
(2)根据S△ABC=S△AOC+S△BOC,可得出⊙O的半径,从而得出切线AD的长.
解答:证明:(1)过点O作OE⊥BA,垂足为E,连接OD,
∵AC是圆的切线,
∴OD⊥AC,
又∵OC为∠BAC的平分线,
∴OE=OD,即OE是⊙O的半径,
∴BA与⊙0相切;

(2)设⊙O的半径为r,
∵S△ABC=S△AOC+S△BOA
1
2
AC×BA=
1
2
AC×OD+
1
2
BA×OE,
∵OE=OD=r,AC=6,AB=3,
∴r(AC+BA)=18,
即9r=18,
解得:r=2.
∵∠DAO=∠DOA=45°,
∴AD=OD=r,
即AD的长为2.
点评:本题考查了切线的判定及性质,利用等积法求圆的半径是很巧妙的方法,也比较重要,希望同学们认真掌握.
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1
3
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