Question

14．如图：在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线y=kx+8与直线AB相交于点D，与x轴相交于点C，过D作DE⊥x轴于点E（1，0），点P（t，0）为x轴上一动点．若点T 为直线DE上一动点，当以O，B，T为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似时，则相应的点T（t＜0）的坐标为（1，3）或（1，0）或（1，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）．

Answer 1

分析 两三角形相似时，在△OBT中以谁为直角分以下三种情况：①∠OBT=90°；②∠BOT=90°；③∠BTO=90°时，设点T坐标为（1，a），过点B作BF⊥DE于F，先证△BTF∽△TOE可得$\frac{BF}{TE}=\frac{TF}{OE}=\frac{BT}{TO}$，即$\frac{BT}{TO}$=$\frac{1}{a}$=$\frac{3-a}{1}$，据此可得a的值，从而求得点T的坐标．

解答 解：根据题意知点B的坐标为（0，3），
如图1，BT=1，OB=3，

①当△BOP∽△OBT或△POB∽△OBT时，∠POB=∠TBO=90°，
∴此时点T的坐标为（1，3）；

②当△BOP∽△BOT或△POB∽△BOT时，∠BOP=∠BOT=90°，
∴点T的坐标为（1，0）；

③如图2，设点T坐标为（1，a），过点B作BF⊥DE于F，

∴∠BFT=∠TEO=90°，
∴∠BTF+∠TBF=90°，
当△BOP∽△BTO时，∠BTO=∠BOP=90°，
∴∠BTF+∠OTE=90°，
∴∠TBF=∠OTE，
∴△BTF∽△TOE，
∴$\frac{BF}{TE}=\frac{TF}{OE}=\frac{BT}{TO}$，即$\frac{BT}{TO}$=$\frac{1}{a}$=$\frac{3-a}{1}$，
解得a=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$＞3（舍）或a=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴点T的坐标为（1，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$），
综上点T的坐标为（1，3）或（1，0）或（1，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据两三角形相似分类讨论是解题的关键．