Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，且AB=6，点M为⊙O外一点，且MA，MC分别切⊙O于点A、C．点D是两条线段BC与AM延长线的交点．

（1）求证：DM=AM；

（2）直接回答：

①当CM为何值时，四边形AOCM是正方形？

②当CM为何值时，△CDM为等边三角形？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①当CM=OA=3时，四边形AOCM是正方形；②.

【解析】

（1）根据切线的性质得：MA⊥OA，MC⊥OC，证明△MAO≌△MAO（HL），得MC=MA，根据等边对等角得：∠2=∠B，由等角的余角相等可得结论；

（2）①直接可得CM=OA=3；

②先根据等边三角形定义可得：DM=CM，∠D=60°，证明Rt△OCM≌△OAM（HL），得CM=AM=DM，可得结论．

（1）连接OM，如图1，

∵MA，MC分别切⊙O于点A、C，

∴MA⊥OA，MC⊥OC，

在Rt△MAO和Rt△MCO中，

MO=MO，AO=CO，

∴△MAO≌△MAO（HL），

∴MC=MA，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠B，

又∵∠DCM+∠OCB=90°，∠D+∠B=90°，

∴∠DCM=∠D，

∴DM=MC，

∴DM=MA；

（2）如图2，

①当CM=OA=3时，四边形AOCM是正方形；

②连接OM，如图3，

∵△DCM是等边三角形，

∴CM=DM，∠D=60°，

∵∠DAB=90°，

∴∠B=30°，

∴∠AOC=2∠B=60°，

∵AB=6，

∴tan∠B=tan30°==，

∴AD=2，

设CM=x，

∵OC=OA，OM=OM，

∴Rt△OCM≌△OAM（HL），

∴CM=AM=DM，

∴CM=AD=