Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x、y轴交于A、B两点，将直线AB沿着y轴翻折，交x轴负半轴于点C．

（1）求直线BC的函数关系式；

（2）点P（0，t）在y轴负半轴上，Q为线段BC上一动点（不与B、C重合）．连接PA、PQ，PQ＝PA

①若点Q为BC中点，求t的值；

②用t的代数式表示点Q的坐标和直线PQ的函数关系式；

③若M（2m，n－8），N（t3＋2t2－2m，n）在直线PQ上，求n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①t＝－3，②，③－6＜t＜0，≤n＜70

【解析】

（1）根据题意求出A，B的坐标，从而可得出C点的坐标，用待定系数法即可得出解析式；

（2）①首先根据Q为BC中点，得出Q的坐标，然后过Q点作QE⊥y轴，可得QE=3，EP=3-t，OP=|t|，OA=6，然后根据PQ=PA和勾股定理，可得=，求解即可；

②设Q（a，a＋6），由题意得：，解出方程求出Q的坐标为（t，t＋6），然后利用待定系数法求出解析式即可；

③将M（2m，n－8），N（t3＋2t2－2m，n）代入PQ的函数关系式得，然后消去m得n=3t2+7t+4，在根据t的取值范围即可推出，n的取值范围．

（1）∵直线分别与x、y轴交于A、B两点，

∴可得A（6，0），B（0，6），

∵点C和点A关于x轴对称，

∴C（-6，0），

设BC的解析式为y=kx+b，

将B，C两点代入得，

解得：k=1，b=6，

∴BC的解析式为：；

（2）①∵Q为BC中点，

∴Q的坐标为（-3，3），

过Q点作QE⊥y轴，

∴E的坐标为（0，3），

∴QE=3，EP=3-t，OP=|t|，OA=6，

∵PQ=PA，

∴=，

即=，

解得t＝－3；

②设Q（a，a＋6），

由题意得：，

解得，（舍），

∴Q（t，t＋6），

设直线PQ函数关系式为y=kx+b，

将Q，P代入得，

解得，

∴直线PQ函数关系式为；

③∵点M（2m，n－8），N（t3＋2t2－2m，n）在直线PQ上，

由②可得PQ函数关系式为，

∴，

消去m得n=3t2+7t+4，

∵Q为线段BC上一动点（不与B、C重合），

∴-6＜t＜0，

∵n=3t2+7t+4，

∴对称轴为t=，

∴n的最小值为：n=3×-7×+4=，

当t=-6时，n=3×36-7×6+4=70，

当t=0时，n=4，

∴n的取值范围是：≤n＜70．