Question

6．如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E在AD上，ED=3，动点P从点B出发沿BC方向以每秒3个单位的速度向点C运动，过点P作PF∥CE，与边BA交于点F，过点F作FG∥BC，与CE交于点G，当点F与点A重合时，点P停止运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）BF=4t，PF=5t（用含t的代数式分别表示）；
（2）作点D关于CE的对称点D′，当D′落在FG上时，求t的值；
（3）如图2，作△FGP的外接圆⊙O，当点P在运动过程中，是否存在⊙O与四边形ABCE的一边（AE边除外）相切？若存在，请直接写出所有符合要求的t值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△PFB∽△ECD，得$\frac{PF}{EC}$=$\frac{BF}{CD}$=$\frac{BP}{DE}$，由此即可解决问题．
（2）如图2中，由△D′MG∽△CDE，得$\frac{D′M}{CD}$=$\frac{MG}{ED}$，求出MG，根据PF=CG=CM-MG，列出方程即可解决问题．
（3）存在．分三种情形，①如图3中，当⊙O与AB相切时，FG是直径．由△PFB∽△FGP，得$\frac{PF}{GF}$=$\frac{PB}{PF}$，列出方程即可解决问题．
②如图4中，当⊙O与BC相切时，连接OP延长PO交FG于M，连接OF、OG，由PB=MF=MG=$\frac{1}{2}$FG=$\frac{1}{2}$PC，得到3t=$\frac{1}{2}$（5-3t），即可解决问题．
③如图5中，当⊙O与BC相切时，连接GO，延长GO交PF于M，连接OF、OP，由△FGM∽△PFB，得$\frac{FG}{PF}$=$\frac{FM}{PB}$，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，BC=AD=5，∠B=∠D=90°，AD∥BC，
在Rt△ECD中，∵∠D=90°，ED=3．CD=4，
∴EC=$\sqrt{E{D}^{2}+C{D}^{2}}$=5，
∵PF∥CE，FG∥BC，
∴四边形PFGC是平行四边形，
∴∠FPB=∠ECB=∠DEC，
∴△PFB∽△ECD，
∴$\frac{PF}{EC}$=$\frac{BF}{CD}$=$\frac{BP}{DE}$，
∴$\frac{PF}{5}$=$\frac{BF}{4}$=$\frac{3t}{3}$，
∴BF=4t，PF=5t，
故答案为4t，5t．
（2）如图2中，

∴D、D′关于CE对称，
∴DD′⊥CE，DM=MD′，
∵$\frac{1}{2}$•DE•DC=$\frac{1}{2}$•EC•DM，
∴DM=D′M=$\frac{12}{5}$，CM=$\sqrt{C{D}^{2}-D{M}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
由△D′MG∽△CDE，得$\frac{D′M}{CD}$=$\frac{MG}{ED}$，
∴$\frac{\frac{12}{5}}{4}$=$\frac{MG}{3}$，
∴MG=$\frac{9}{5}$，
∴PF=CG=CM-MG，
∴5t=$\frac{16}{5}$-$\frac{9}{5}$，
∴t=$\frac{7}{25}$．
∴t=$\frac{7}{25}$时，D′落在FG上．
（3）存在．
①如图3中，当⊙O与AB相切时，FG是直径．

∴∠FPG=90°，
∵FG∥BC，
∴∠PFG=∠FPB，∵∠FPG=∠B=90°，
∴△PFB∽△FGP，
∴$\frac{PF}{GF}$=$\frac{PB}{PF}$，
∴$\frac{5t}{5-3t}$=$\frac{3t}{5t}$，
解得t=$\frac{15}{34}$．
②如图4中，当⊙O与BC相切时，连接OP延长PO交FG于M，连接OF、OG．

∵OP⊥BC，BC∥FG，
∴PO⊥FG，
∴FM=MG
由PB=MF=MG=$\frac{1}{2}$FG=$\frac{1}{2}$PC，得到3t=$\frac{1}{2}$（5-3t），解得t=$\frac{5}{9}$．
③如图5中，当⊙O与EC相切时，连接GO，延长GO交PF于M，连接OF、OP．

∵OG⊥EC，BF∥EC，
∴GO⊥PF，
∴MF=MP=$\frac{5}{2}$t，
∵△FGM∽△PFB，
∴$\frac{FG}{PF}$=$\frac{FM}{PB}$，
∴$\frac{5-3t}{5t}$=$\frac{\frac{5}{2}t}{3t}$，
解得t=$\frac{30}{43}$．
综上所述t=$\frac{5}{9}$或$\frac{15}{34}$或$\frac{30}{43}$时，⊙O与四边形ABCE的一边（AE边除外）相切．

点评 本题考查圆的综合题、垂径定理、平行四边形点性质、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确画出图形，把问题转化为方程解决，学会添加常用辅助线，构造相似三角形，属于中考压轴题．