Question

7．如图，△ABC的面积为1．第一次操：分别延长AB，BC，CA至点A₁，B₁，C₁，使A₁B=AB，B₁C=BC，C₁A=CA，顺次连接A₁，B₁，C₁，得到△A₁B₁C₁．第二次操作：分别延长A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁至点A₂，B₂，C₂，使A₂B₁=A₁B₁，B₂C₁=B₁C₁，C₂A₁=C₁A₁，顺次连接A₂，B₂，C₂，得到△A₂B₂C₂，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，最少经过（　　）次操作．

• A． 6
• B． 5
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 先根据已知条件求出△A₁B₁C₁及△A₂B₂C₂的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．

解答 解：△ABC与△A₁BB₁底相等（AB=A₁B），高为1：2（BB1=2BC），故面积比为1：2，
∵△ABC面积为1，
∴S_△A1BB1=2．
同理可得，S_△C1B1C=2，S_△AA1C=2，
∴S_△A1B1C1=S_△C1B1C+S_△AA1C+S_△A1B1B+S_△ABC=2+2+2+1=7；
同理可证S_△A2B2C2=7S_△A1B1C1=49，
第三次操作后的面积为7×49=343，
第四次操作后的面积为7×343=2401．
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，最少经过4次操作，
故选：C．

点评 本题考查了图形的变化规律，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可．