Question

在?ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图①）．
（1）在图①中画图探究：
①当P₁为射线CD上任意一点（P₁不与C点重合）时，连接EP₁，将线段EP₁绕点E逆时针旋转90°得到线段EG₁．判断直线FG₁与直线CD的位置关系并加以证明；
②当P₂为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP₂，将线段EP₂绕点E逆时针旋转90°得到线段EG₂．判断直线G₁G₂与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．

Answer 1

分析：①由CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，易得EF∥CD，设直线FG₁与直线CD的交点为H，根据旋转的性质得到∠P₁EG₁=∠CEF=90°，EG₁=EP₁，EF=EC，根据等角的余角相等得到∠G₁EF=∠P₁EC，易证得△G₁EF≌△P₁EC，则∠G₁FE=∠P₁CE，而EC⊥CD有∠P₁CE=90°，则∠FHC=90°，即可得到FG₁⊥CD；
②与①一样易证得△G₂EF≌△P₂EC，则∠G₂FE=∠P₂CE，而EC⊥CD有∠P₂CE=90°，则∠G₂FE=90°，则点G₁、F、G₂共线，于是得到G₁G₂⊥CD．

解答：解：①直线FG₁与直线CD的位置关系为互相垂直．理由如下：
∵CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，
∴∠CEF=90°，
∴EF∥CD，
如图1，设直线FG₁与直线CD的交点为H，
∵线段EC、EP₁分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG₁，
∴∠P₁EG₁=∠CEF=90°，EG₁=EP₁，EF=EC，
∵∠G₁EF=90°-∠P₁EF，∠P₁EC=90°-∠P₁EF，
∴∠G₁EF=∠P₁EC，
∴△G₁EF≌△P₁EC，
∴∠G₁FE=∠P₁CE，
又∵EC⊥CD，
∴∠P₁CE=90°，
∴∠G₁FE=90°．
∴∠FHC=90°，
∴FG₁⊥CD．

②按题目要求所画图形见图1，直线G₁G₂与直线CD的位置关系为互相垂直．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角线段，对应线段线段；对应点的连线段所夹的角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质以及解决探究问题的能力．