Question

14．某粮油超市平时每天都将一定数量的某些品种的粮食进行包装以便出售，已知每天包装大黄米的质量是包装江米质量$\frac{5}{4}$倍，且每天包装大黄米和江米的质量之和为45千克．
（1）求平时每天包装大黄米和江米的质量各是多少千克？
（2）为迎接今年6月9日的“端午节”，该超市决定在前20天增加每天包装大黄米和江米的质量，二者的包装质量与天数的变化情况如图所示，节日后又恢复到原来每天的包装质量．分别求出在这20天内每天包装大黄米和江米的质量随天数变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）假设该超市每天都会将当天包装后的大黄米和江米全部售出，已知大黄米成本价为每千克7.9元，江米成本每千克9.5元，二者包装费用平均每千克均为0.5元，大黄米售价为每千克10元，江米售价为每千克12元，那么在这20天中有哪几天销售大黄米和江米的利润之和大于120元？[总利润=售价额-成本-包装费用]．

Answer 1

分析 （1）根据比例设出每天包装大黄米5m千克，江米4m千克，由两种米每天包装总数为45千克可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）设出在这20天内每天包装大黄米和江米的质量随天数变化的函数关系式，结合图象分段利用待定系数法求出函数解析式；
（3）算出每种米每千克的利润，结合（2）的关系式可列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．

解答 解：（1）设平时每天包装大黄米5m千克，则每天包装江米4m千克，
根据题意可知：5m+4m=45，
解得：m=5，
5m=5×5=25，
4m=4×5=20．
答：平时每天包装大黄米25千克，每天包装江米20千克．
（2）设这20天内每天包装大黄米的质量随天数变化的函数关系式为y₁=k₁x+b₁，每天包装江米的质量随天数变化的函数关系式为y₂=k₂x+b₂，
当0≤x＜15时，有$\left\{\begin{array}{l}{25={b}_{1}}\\{40=15{k}_{1}+{b}_{1}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{20={b}_{2}}\\{38=15{k}_{2}+{b}_{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=1}\\{{b}_{1}=25}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=1.2}\\{{b}_{2}=20}\end{array}\right.$．
即y₁=x+25，为y₂=1.2x+20；
当15≤x≤20时，有$\left\{\begin{array}{l}{40=15{k}_{1}+{b}_{1}}\\{25=20{k}_{1}+{b}_{1}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{38=15{k}_{2}+{b}_{2}}\\{20=20{k}_{2}+{b}_{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-3}\\{{b}_{1}=85}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-3.6}\\{{b}_{2}=92}\end{array}\right.$．
即y₁=-3x+85，为y₂=-3.6x+92．
综上可知：每天包装大黄米的质量随天数变化的函数关系式为y₁=$\left\{\begin{array}{l}{x+25（0≤x＜15）}\\{-3x+85（15≤x≤20）}\end{array}\right.$，
每天包装江米的质量随天数变化的函数关系式为y₂=$\left\{\begin{array}{l}{1.2x+20（0≤x＜15）}\\{-3.6x+92（15≤x≤20）}\end{array}\right.$．
（3）大黄米每千克的利润为10-0.5-7.9=1.6（元）；江米每千克的利润为12-9.5-0.5=2（元）．
当0≤x＜15时，每天销售大黄米和江米的利润之和1.6×（x+25）+2×（1.2x+20）=4x+80，
令4x+80＞120，解得：10＜x＜15；
当15≤x≤20时，每天销售大黄米和江米的利润之和1.6×（-3x+85）+2×（-3.6x+92）=-12x+320，
令-12x+320＞120，解得：15≤x≤16．
故在这20天中从第11 6天销售大黄米和江米的利润之和大于120元．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用比例设出未知数，列出方程；（2）利用待定系数法求函数解析式；（3）列出关于x的一元一次不等式．本题属于中档题型，（1）（3）难度不大，（2）有些难度，由于函数图象是折线故需分段考虑函数解析式．