Question

14．正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD为正方形，得到一对直角相等，再由AM垂直于MN，得到∠AMN为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2）由（1）得出的相似三角形，可得对应边成比例，根据BM=x与AB=4，表示出CN，由梯形的面积公式列出y与x的函数关系式，由二次函数的性质确定出梯形ABCN面积最大时M的位置，并求出最大面积即可；
（3）当点M运动到BC中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，由一对直角相等，要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须有AB：AM=BM：MN，表示出BM，由（1）的结论表示出CM，可得出BM=CM，即此时M为BC的中点．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）解：∵Rt△ABM∽Rt△MCN，BM=x，
∴AB：MC=BM：CN，即$\frac{4}{4-x}=\frac{x}{CN}$，
解得：CN=$\frac{-{x}^{2}+4x}{4}$，
∴y=S_梯形ABCN=$\frac{1}{2}$×（$\frac{-{x}^{2}+4x}{4}$+4）×4=-$\frac{1}{2}$x²+2x+8=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+10（0＜x＜4），
则当x=2，即M点运动到BC的中点时，梯形ABCN的面积最大，最大值为10；
（3）解：当点M运动到BC中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，理由如下：
解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须有$\frac{AB}{AM}=\frac{BM}{MN}$，
即BM=$\frac{AB•MN}{AM}$，
由（1）知$\frac{AM}{MN}$=$\frac{AB}{MC}$，
即MC=$\frac{AB•MN}{AM}$，
∴BM=MC，
则当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，梯形的面积求法，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．