Question

【题目】如图，在平面直角坐标中，点O是坐标原点，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．

（1）求直线AB的解析式及△OAB面积；

（2）根据图象写出当y1＜y2时，x的取值范围；

（3）若点P在x轴上，求PA+PB的最小值．

Answer 1

【答案】（1）S△OAB＝4；（2）x的取值范围是：0＜x＜1或x＞3；（3）PA+PB的最小值为2．

【解析】

（1）将A、B两点的坐标代入反比例函数的解析式，求出m、n的值，然后将A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出直线AB的解析式，进而求出点M、点N的坐标，根据依据S△OAB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON代入计算即可得出答案；

（2）结合函数图象找出一次函数图象在反比例函数图象下方对应的自变量的取值范围即可；

（3）作点A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于点P，则PA+PB的最小值等于BC的长，利用勾股定理即可得到BC的长．

解：（1）A（1，m）、B（n，1）两点坐标分别代入反比例函数y2＝，可得

m＝3，n＝3，

∴A（1，3）、B（3，1），

把A（1，3）、B（3，1）代入一次函数y1＝kx+b，可得

，

解得，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4．

∴M（0，4），N（4，0）．

∴S△OAB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON＝×4×4﹣×4×1﹣×4×1＝4．

（2）从图象看出0＜x＜1或x＞3时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，

∴当y1＜y2时，x的取值范围是：0＜x＜1或x＞3．

（3）如图，作点A关于x轴的对称点C，连接BC交y轴于点P，则PA+PB的最小值等于BC的长，

过C作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，交于点D，则

Rt△BCD中，BD＝4，CD＝2，BC＝＝＝．

∴PA+PB的最小值为．