Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：

（1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由．

（2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠EAF的大小没有变化．理由见解析；（2）△ECF的周长没有变化．理由见解析.

【解析】

（1）根据题意，求证△BAE≌△HAE，△HAF≌△DAF，然后根据全等三角形的性质求∠EAF=∠BAD．

（2）根据（1）的求证结果，用等量代换来计算△ECF的周长，如果结果是定量，就说明△ECF的周长没有变化，反之，△ECF的周长有变化．

（1）∠EAF的大小没有变化．理由如下：

根据题意，知

AB=AH，∠B=90°，

又∵AH⊥EF，

∴∠AHE=90°，

∵AE=AE，

∴Rt△BAE≌Rt△HAE（HL），

∴∠BAE=∠HAE，

同理，△HAF≌△DAF，

∴∠HAF=∠DAF，

∴∠EAF=∠EAH+∠FAH=∠BAH+∠HAD=（∠BAH+∠HAD）=∠BAD，

又∵∠BAD=90°，

∴∠EAF=45°，

∴∠EAF的大小没有变化．

（2）△ECF的周长没有变化．理由如下：

∵由（1）知，Rt△BAE≌Rt△HAE，△HAF≌△DAF，

∴BE=HE，HF=DF，

∴C△EFC=EF+EC+FC=EB+DF+EC+FC=2BC，

∴△ECF的周长没有变化．