Question

【题目】如图，DC是⊙O的直径，点B在圆上，直线AB交CD延长线于点A，且∠ABD=∠C．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若AB=4cm，AD=2cm，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CD=6．

【解析】

（1）连结OB，由圆周角定理证出∠1+∠2=90°，再由已知条件得出∠2+∠ABD=90°，得出∠ABO=90°即可；

（2）证明△ABD∽△ACB，根据相似三角形的性质列式求出AC的长，进而可求出CD的长.

（1）证明：连接OB，如图，

∵DC是⊙O的直径，

∴∠CBD=90°，即∠1+∠2=90°，

∵OB=OC，

∴∠1=∠C，

∵∠C=∠ABD，

∴∠ABD+∠2=90°，即∠ABO=90°，

∴OB⊥AB，

∴AB是⊙O的切线；

（2）解：∵∠BAD=∠CAB，∠ABD=∠C，

∴△ABD∽△ACB，

∴=，即=，

∴AC=8，

∴CD=AC-AD=8-2=6．