【题目】将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中,点.
(1)点为边上一点(点不与重合),沿将纸片折叠得的对应点,边与轴交于点.
①如图1,当点刚好落在轴上时,求点的坐标
②如图2,当时,若线段在轴上移动得到线段(线段平移时不动),当△A′O′Q′周长最小时,求OO′的长度.
(2)如图3,若点为边上一点(点不与重合),沿将纸片折叠得的对应点,当时,求点的坐标.
【答案】(1)①A'(0,-1);②;(2)
【解析】
(1)①先利用勾股定理求出AB=2,根据折叠求出BA',再利用线段的和差求出OA'即可得出结论;
②先由折叠求出∠BPA=135°,进而求出OP=1,即可求出PA',求出点A'的坐标,从而求出直线A'B的解析式,求出OQ的长度,最后用等腰三角形的三线合一即可得出结论;
(2)先求出∠OPA=105°,再构造直角三角形,建立方程即可求出结论.
解:(1)①∵A(,0),B(0,1),
∴OA=,OB=1,根据勾股定理得,AB=2,
由折叠知,BA'=BA=2,PA=PA',
∴OA'=BA'-OB=1,
∴A'(0,-1);
②∵A′P⊥OA,
∴∠APA'=90°,
由折叠知,∠BPA=∠BPA'=(360°-∠APA')=135°,
∴∠BPO=45°,
∴OP=OB=1,
∴PA'=PA=OA-OP=-1,
∴A'(1,1-),
∵B(0,1),
∴直线A'B的解析式为y=-x+1,
令y=0,得,-x+1=0,
,∴Q(,0),
∴OQ=,
∵线段OQ在x轴上移动得到线段O′Q′(线段OQ平移时A′不动),要△A′O′Q′周长最小,
则有,PA'是O'Q的垂直平分线,P是垂足,
(2)如图,
在Rt△AOB中,
∴∠OAB=30°
∵∠BPA'=30°,
∴∠APA'=150°,
由折叠知,∠APO=∠A'PO=(360°-150°)=105°,
过点P作PG⊥OA于G,
在Rt△PGA中,∠APG=60°,
∴∠OPG=45°,
设PG=m,
在Rt△POG中,AG=PG=m,
在Rt△PGO中,OG=PG=m,
∴OA=OG+AG=m+m=,
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【题目】如图,已知AD∥BE∥CF,它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F,,AC=14;
(1)求AB、BC的长;
(2)如果AD=7,CF=14,求BE的长.
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【题目】(1)若分式有意义,则x的取值范围是__.
(2)在平面直角坐标系中,点P(﹣4,3)到原点O的距离是____.
(3)有一个三角形的两边长是4和5,要使这个三角形成为直角三角形,则第三边长为_____.
(4)化简的结果为____.
(5)如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点E处,且CE与AB交于点F,那么BF=_______.
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【题目】如图,两地相距千米,甲、乙两人都从地去地,图中和分别表示甲、乙两人所走路程(千米)与时间(小时)之间的关系,下列说法: ①乙晚出发小时;②乙出发小时后追上甲;③甲的速度是千米/小时; ④乙先到达地.其中正确的是__________.(填序号)
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【题目】如图,己知A(0,8),B(6,0),点M、N分别是线段AB、AO上的动点,点M从点B出发,以每秒2个单位的速度向点A运动,点N从点A出发,以每秒1个单位的速度向点O运动,点M、N中有一个点停止时,另一个点也停止。设运动时间为t秒。
(1)当t为何值时,M为AB的中点;
(2)当t为何值时,△AMN为直角三角形;
(3)当t为何值时,△AMN是等腰三角形?并求此时点M的坐标.
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【题目】如图,矩形ABCD的对角线经过原点,各边分别平行于坐标轴,点C在反比例函数y=的图象上.若点A的坐标为(﹣2,﹣3),则k的值为________.
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【题目】某电信公司给用户提供了两种手机上网计费方式:
方式:以每分钟0.1元的价格按上网时间计费;
方式:除收月租费20元外,再以每分钟0.06元的价格按上网时间计费.
假设用户甲一个月手机上网的时间共有分钟,上网的费用为元.
(1)分别写出用户甲按两种方式计费的上网费元与上网时间分钟之间的函数关系式;
(2)如果该用户每月通话时间400分钟,选择哪种计费方式更合算?
(3)如果该用户每月上网费为80元,选择哪种计费方式更合算?
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【题目】如图1,已知矩形ABCD,连接AC,将△ABC沿AC所在直线翻折,得到△AEC,AE交CD于点F.
(1)求证:DF=EF;
(2)如图2,若∠BAC=30°,点G是AC的中点,连接DE,EG,求证:四边形ADEG是菱形.
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