如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-2）2-4与y轴交于点A，顶点为B，点A的坐标为（0，-2），点C在抛物线上（不与点A，B重合），过点C作y轴的垂线交抛物线于点D，连结AC，AD，CD，设点C的横坐标为m．分析 （1）把A（0，-2）代入抛物线切线a=$\frac{1}{2}$即可；
（2）抛物线的对称轴为直线x=2，且点C的横坐标为m，得出当m＜2，且m≠0时，CD=4-2m，当m＞2时，CD=2m-4；
（3）求出BE=$\frac{1}{2}$m2-2m+1或BE=-$\frac{1}{2}$m2+2m-1，由三角形面积关系得出方程，解方程即可；
（4）由题意得出则四边形AGCF是矩形，求出点C的坐标，分情况讨论，根据点的坐标关系即可得出答案．
解答 （1）∵抛物线y=a（x-2）2-4与y轴交于点A（0，-2），
∴-2=4a-4，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为y=$\frac{1}{2}$（x-2）2-4，
即y=$\frac{1}{2}$x2-2x-2；
（2）∵抛物线y=$\frac{1}{2}$（x-2）2-4的对称轴为直线x=2，且点C的横坐标为m，
∴当m＜2，且m≠0时，CD=4-2m；
当m＞2时，CD=2m-4；
（3）∵B（2，-4），E（2，$\frac{1}{2}$m2-2m-3），
∴BE=$\frac{1}{2}$m2-2m+1或BE=-$\frac{1}{2}$m2+2m-1，
∴S1=$\frac{1}{2}$•CD•（$\frac{1}{2}$m2-2m）或S1=$\frac{1}{2}$•CD•（-$\frac{1}{2}$m2+2m），S2=$\frac{1}{2}$•CD•（$\frac{1}{2}$m2-2m+1）或S2=$\frac{1}{2}$•CD•（-$\frac{1}{2}$m2+2m-1），
∵S2=$\frac{2}{3}$S1，
∴4•（$\frac{1}{2}$m2-2m）=3•（$\frac{1}{2}$m2-2m+1），或4•（$\frac{1}{2}$m2-2m）=-3•（$\frac{1}{2}$m2-2m+1），
解得：m=2±$\sqrt{10}$或m=$\frac{14±\sqrt{154}}{7}$；
（4）若AC=FG，连接AF，则四边形AGCF是矩形，
∵CD=6，抛物线的对称轴为x=2，
∴点C的横坐标为-1或5；
①当点C的横坐标为-1时，点C的纵坐标=$\frac{1}{2}$×（-1）2-2×（-1）-2=$\frac{1}{2}$，
当抛物线向下平移时，如图所示，
∵点A的坐标为（0，-2），
∴点F的坐标为（-1，-2）；
当抛物线向上平移时，同理得出点F的坐标为（-1，3）；
②当点C的横坐标为5时，点C的纵坐标为$\frac{1}{2}$，
当抛物线向下平移时，同理的点F的坐标为（5，-2）；
当抛物线向上平移时，同理得出点F的坐标为（5，3）；
综上所述：点F的坐标为（-1，-2）或（-1，3）或（5，-2）或（5，3）．
点评 本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、抛物线的对称轴、三角形的面积、平移的性质、坐标与图形性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
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如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为27cm，△BCE的周长为18cm，则AD的长为4.5cm．