Question

已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=4，⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切于点D，⊙B、⊙C的半径均为1．求：
（1）⊙A的半径；
（2）tan∠ADB的值？

Answer 1

解：（1）设⊙A的半径为R，（1分）
∵⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切于点D，⊙B、⊙C的半径均为1，
∴AB=R-1，AC=R+1．（2分）
∵∠A=90°，BC=4，∴AB²+AC²=BC²，（1分）
∴（R-1）²+（R+1）²=16，（1分）
解得R=（负值舍去）．
∴⊙A的半径为．（2分）

（2）∵⊙A与⊙C外切于点D，∴点D在AC上．（1分）
在Rt△ADB中，∵AD=，AB=，
∴．（2分）
分析：（1）设⊙A的半径为R．根据已知条件“⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切于点D，⊙B、⊙C的半径均为1”易知AB=R-1，AC=R+1；然后在直角三角形ABC中根据勾股定理列出关于R的方程，由R的取值范围解方程即可；
（2）在Rt△ADB中，根据已知条件“⊙A与⊙C外切于点D”求得AD=、AB=；然后由锐角三角函数的定义来求tan∠ADB的值．
点评：本题综合考查了相切两圆的性质、勾股定理以及解直角三角形．解答本题的关键是根据圆外切、内切的性质求得相应线段的长度，再在直角三角形中利用勾股定理解答相关线段的长度．