Question

如图，矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=5，E、F分别是边BC、CD上的点，若将△CEF沿直线EF折叠，使得点C恰好落在AD边上的点P处．
（1）若CF=2，则PD的长为

 

；
（2）设CF=x，则x的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：计算题

分析：（1）利用矩形的性质得CD=AB=3，由于CF=2，则DF=1，再根据折叠的性质得PF=CF=2，然后在Rt△PDF中根据勾股定理可计算出PD；
（2）当点E在B点，将△CEF沿直线EF折叠，使得点C恰好落在AD边上的点P处，此时CF最小，如图1，根据折叠的性质得BP=BC=5，在Rt△APB中，利用勾股定理计算出AP=4，则PD=AD-AP=1，设CF=t，则PF=t，DF=3-t，在Rt△PDF中，根据勾股定理得到（3-t）²+1²=x²，解得t=

5

3

，即当点E在B点，将△CEF沿直线EF折叠，使得点C恰好落在AD边上的点P处，此时BF的长为

5

3

，于是得到x的取值范围为

5

3

≤x≤3．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=3，
∵CF=2，
∴DF=CD-CF=1，
∵△CEF沿直线EF折叠，使得点C恰好落在AD边上的点P处，
∴PF=CF=2，
在Rt△PDF中，PD=

PF2-DF2

=

3

；
（2）当点E在B点，将△CEF沿直线EF折叠，使得点C恰好落在AD边上的点P处，此时CF最小，如图1，
则BP=BC=5，
在Rt△APB中，AP=

BP2-AB2

=4，
∴PD=AD-AP=1，
设CF=t，则PF=t，DF=3-t，
在Rt△PDF中，
∵DF²+PD²=PF²，
∴（3-t）²+1²=x²，解得t=

5

3

，
即当点E在B点，将△CEF沿直线EF折叠，使得点C恰好落在AD边上的点P处，此时BF的长为

5

3

，
∴x的取值范围为

5

3

≤x≤3．
故答案为：

5

3

≤x≤3．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．