Question

17．如图，AD为锐角三角形ABC的外接圆⊙O的直径，AE⊥BC于点E，延长AE交⊙O于点F，求证：$\widehat{BD}$=$\widehat{FC}$．

Answer 1

分析 连接CD，可证明∠ABC=∠ADC，再证明∠BCD=∠CAF，从而有∠BCD=∠CAF，再由“同圆中相等的圆周角所对弧相等”可证$\widehat{BD}=\widehat{FC}$．

解答 证明：如下图所示：连接DC，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠ABC=∠ADC，
∴∠BAD=∠BCD
∵AF⊥BC于点E
∴∠EAC+∠ECA=90°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=∠ECA+∠DCE=90°，
∴∠BCD=∠CAF，
∴∠BAD=∠FAC，
∴∠BCD=∠CAF，
∴$\widehat{BD}=\widehat{FC}$（同圆中相等的圆周角所对弧相等）

点评 本题考查了圆周角、弧、弦之间的关系，解题的关键是作辅助线构造同弧所对的圆周角．