Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点A′处，连接A′C、BD．

（1）如图1，若点A′恰好落在BD上，求tan∠ABE的值；

（2）如图2，已知AE=2，求△A′CB的面积；

（3）点E在AD边上运动的过程中，∠A′CB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）19.2；（3）.

【解析】

（1）先根据勾股定理得，BD＝10，最后用勾股定理建立方程求解即可得出结论；

（2）过点A’作FH⊥AD，A’G⊥AB，设A’F=x，证明△FEA’∽GBA’，列出比例式求出x的值，然后求出A’H，代入三角形面积公式进行计算；

（3）先判断出∠A'CB最大时，点A'在CE上，进而利用三角形的面积求出CE，进而用勾股定理求出DE，即可得出结论．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，AD＝BC＝8，

在Rt△ABD中，根据勾股定理得，BD＝10，

设AE＝x，

∴DE＝ADAE＝8x，

由折叠知，A'E＝AE＝x，A'B＝AB＝6，∠BA'E＝∠A＝90°，

∴A'D＝BDA'B＝4，

∴∠DA'E＝90°，

在Rt△DA'E中，根据勾股定理得，DE2A'E2＝A'D2＝16，

∴（8x）2x2＝16，

∴x＝3，

∴AE＝3，

在Rt△ABE中，tan∠ABE＝；

（2）在四边形ABA’E中，∠ABA’=180°-∠AEA’，而∠DEA’=180°-∠AEA’，

∴∠ABA’=∠DEA’，

如图1，过点A’作FH⊥AD，A’G⊥AB，设A’F=x，则EF=，

则FH⊥BC，△FEA’∽GBA’，

∴，即，

解得：，

∴A’H=，

∴S△A′CB=

（3）∠A′CB的度数存在最大值，

理由：如图2，过点B作BF⊥CA'交CA'的延长线于F，

在Rt△BFC中，sin∠A'CB＝，

∴BF越大时，sin∠A'CB越大，即∠A'CB越大，

当点E在边AD上运动时，点A'与F重合时，BF最大＝A'B＝AB＝6，

∴A'B⊥A'C，

∴∠BA'C＝90°，

由折叠知，∠BA'E＝∠A＝∠D＝90°，

∴点A'在CE上，如图3，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠A＝90°，CD＝AB＝6，

根据三角形面积得，Sspan>△BCE＝BCAB＝CEA'B，

∵A'B＝AB，

∴CE＝BC＝8，

在Rt△CDE中，根据勾股定理DE＝，

∴AE＝ADDE＝8.