Question

15．等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）图1中是否有与△EBP相似的三角形，如果有，请写出来，不需证明；
（2）图2中是否有与△EBP相似的三角形，如果有，请写出来，并加以证明；
（3）当CF=5时，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）已知∠B=∠C，要证△BPE∽△CFP，只需证到∠BEP=∠FPC即可．
（2）借鉴（1）中的解题经验即可证到△BPE∽△CFP，从而可得$\frac{BE}{CP}=\frac{PE}{FP}$．，由BP=CP可得$\frac{BE}{BP}=\frac{PE}{FP}$．，再由∠B=∠EPF=30°就可得到△BPE∽△PFE．
（3）连接AP，过点P作PD⊥AC于D，由△CPE∽△PFE（已证）可得CF•FE=PF²，只需在Rt△PDE中运用勾股定理就可解决问题．

解答 解：（1）①∴△BPE∽△CFP
理由：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=150°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，∠EPF=30°，
∴∠BPE+∠CPF=150°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．
②同①方法得△BPE∽△PFE．
（2）①△BPE∽△CFP．
证明：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，∠B=∠EPF=30°，
∴∠BEP=∠FPC，
∴△BPE∽△CFP．
②△BPE∽△PFE．
证明：∵△BPF∽△CFP，
∴$\frac{BE}{CP}=\frac{PE}{FP}$．
∵BP=CP，
∴$\frac{BE}{BP}=\frac{PE}{FP}$．
∵∠B=∠EPF=30°，
∴△BPE∽△PFE．
（3）连接AP，过点P作PD⊥AB于D，如图3，
∵AB=AC，P为BC中点，
∴AP⊥BC．
∵∠C=30°，
∴AP=$\frac{1}{2}$AC=4，
∴CP=$\sqrt{A{C}^{2}-A{P}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
∴PD=$\frac{1}{2}$CP=2$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{C{P}^{2}-P{D}^{2}}$=6，
∴DF=|CD-CF|=1，
∴PF²=PD²+DF²=（2$\sqrt{3}$）²+1²=13．
∵△BPE∽△PFE（已证），
∴$\frac{CF}{PF}=\frac{PF}{EF}$，
∴CF•FE=PF²，
∴5×EF=13
∴EF=$\frac{13}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，由△BPE∽△PFE得到BE•FE=PE²是解决第（3）小题的关键．