△ABC中.∠ACB=90°.AC=BC.AB=2．现将一块三角板的直角顶点放在AB的中点D处.两直角边分别与直线AC.直线BC相交于点E.F．我们把DE⊥AC时的位置定为起始位置.将三角板绕点D顺时针方向旋转一个角度α ．(1)在旋转过程中.当点E在线段AC上.点F在线段BC上时.①试判别△DEF的形状.并说明理由,②判断四边形ECFD的面积是否发生变化.并说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=2．现将一块三角板的直角顶点放在AB的中点D处，两直角边分别与直线AC、直线BC相交于点E、F．我们把DE⊥AC时的位置定为起始位置（如图1），将三角板绕点D顺时针方向旋转一个角度α （0°＜α＜90°）．
（1）在旋转过程中，当点E在线段AC上，点F在线段BC上时（如图2），
①试判别△DEF的形状，并说明理由；
②判断四边形ECFD的面积是否发生变化，并说明理由．
（2）设直线ED交直线BC于点G，在旋转过程中，是否存在点G，使得△EFG为等腰三角形？若存在，求出CG的长，若不存在，说明理由；

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）①连接CD，根据等腰直角三角形的性质得出CD平分∠C，CD⊥AB，进而证得△DCE≌△DFB，从而证得DE=DF，即可判定△DEF是等腰直角三角形．②根据△DCE≌△DFB即可证明S_{四边形ECFD}=S_△BCD=

×1×1=

，从而得出四边形ECFD的面积不发生变化．
（2）分三种情况分别讨论可得出结论．

解答：

解：（1）①△DEF等腰直角三角形，
证明如下，如图2，∵AC=BC，∠C=90°，D为AB中点，连接CD，
∴CD平分∠C，CD⊥AB，
∵∠DCB=∠B=45°，
∴CD=DB=1，
∵∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠FDB=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
在△DCE和△DFB中，

∠EDC=∠FDB

CD=DB

∠DCE=∠B

，
∴△DCE≌△DFB（ASA），
∴DE=DF，
∴△DEF是等腰三角形．
②四边形ECFD的面积不发生变化；
理由如下：∵△DCE≌△DFB，
∴S_{四边形ECFD}=S_△BCD=

×1×1=

∴四边形ECFD的面积不发生变化．
（2）如图3a，当G在线段CB延长线上时，
∵∠FGE＜45°，∠FEG=45°，∠EFG＞90°
∴△EFG不可能是等腰三角形；

如图3b，当G与C重合时，E与A重合，F与C重合，此时FE=FG，CG=

，

如图3c，当G在线段BC上时，
∵∠EGF＞45°，∠EFG＞45°，∠FEG=45°，
∴只能EF=EG，
∵EC⊥FG，
∴FC=CG，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDG=90°，
∴DC=

FG=CG，
∴CG=1；
综上，CG的值为

或1．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，（2）分类讨论是本题的重点．

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