Question

9．如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）直接写出抛物线的解析式：y=-x²+2x+3；
（2）D是笫一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连结BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．
①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围；
②当m为何值时，S有最大值，并求这个最大值；
③直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线与x轴的两个交点坐标可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点C（0，3）代入抛物线解析式中即可得出关于a一元一次方程，解方程即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）①设直线BC的函数解析式为y=kx+b．结合点B、点C的坐标利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，再由点D横坐标为m找出点D、点E的坐标，结合两点间的距离公式以及三角形的面积公式即可得出结论；
②由①的结论，利用配方法将S关于m的函数关系式进行变形，从而得出结论；
③结合图象可知△BDE和△BFE是等高的，由此得出它们的面积比=DE：EF，分两种情况考虑，根据两点间的距离公式即可得出关于m的分式方程，解方程即可得出m的值，将其代入到点D的坐标中即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，
∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
又∵点C（0，3）在抛物线图象上，
∴3=a×（0+1）×（0-3），解得：a=-1．
∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．
故答案为：y=-x²+2x+3．
（2）①设直线BC的函数解析式为y=kx+b．
∵直线BC过点B（3，0），C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{3=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴y=-x+3．
设D（m，-m²+2m+3），E（m，-m+3），
∴DE=（-m²+2m+3）-（-m+3）=-m²+3m．
∴S=$\frac{1}{2}$OB•DE=$\frac{3}{2}（-{m^2}+3m）$=$-\frac{3}{2}{m^2}+\frac{9}{2}m$（0＜m＜3）．
②S=$-\frac{3}{2}{m^2}+\frac{9}{2}m$=$-\frac{3}{2}{（m-\frac{3}{2}）^2}+\frac{27}{8}$，
∵$-\frac{3}{2}＜0$，
∴当$m=\frac{3}{2}$时，S有最大值，最大值$S=\frac{27}{8}$．
③∵△BDE和△BFE是等高的，
∴它们的面积比=DE：EF．
（i）当DE：EF=2：3时，
即$\frac{{-{m^2}+3m}}{-m+3}=\frac{2}{3}$，解得：${m_1}=\frac{2}{3}，{m_2}=3$（舍），
此时点D坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{35}{9}$）；
（ii）当DE：EF=3：2时，
即$\frac{{-{m^2}+3m}}{-m+3}=\frac{3}{2}$，解得：${m_1}=\frac{3}{2}，{m_2}=3$（舍），
此时点D的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
综上可知：点D的坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{35}{9}$）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式以及三角形的面积公式，解题的关键：（1）待定系数法求函数解析式；（2）①找出直线BC的函数解析式；②配方法解决最值问题；③解关于m的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据待定系数法求出函数解析式是关键．