Question

【题目】已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象与x轴交于A，B两点，AB＝4，与y轴交于C点，E为抛物线的顶点，∠ECO＝135°．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若P在第四象限的抛物线上，连接AE交y轴于点M，连接PE交x轴于点N，连接MN，且S△EAP＝3S△EMN，求点P的坐标；

（3）过直线BC上两点P，Q（P在Q的左边）作y轴的平行线，分别交抛物线于N，M，若四边形PQMN为菱形，求直线MN的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）P坐标为（1+，﹣2）；（3）无答案.

【解析】

（1）根据二次函数解析式确定出对称轴为直线x＝1，由A、B关于直线x＝1对称且AB＝4求得A、B坐标，由∠ECO＝135°得到C的纵坐标为k1，把A、C坐标代入函数解析式即求得a、k的值;

（2）根据点A、E的坐标证全等可得点M是AE的中点，又△AMN与△EMN以AM、EM为底时高相等，即面积相等；由S△EAP＝3S△EMN可得△NAP与△AMN面积相等，且有公共底边AN，所以高相等，进而得到点P的纵坐标为2，代入抛物线解析式即求出P的横坐标;

（3）由于直线BC上y随x的增大而减小，由条件“四边形PQMN为菱形”可得M、N必须在直线BC的同侧，其菱形必须在y轴右侧．设点P横坐标为p，点Q横坐标为p＋t，则可用p、t表示M、N的坐标并把PN、PQ、MQ表示出来，根据菱形性质PN＝PQ＝MQ列得关于p、t的方程组，求解后讨论解是否合理即求出点P坐标．

解：（1）过点E作ED⊥y轴于点D，如图1

∴∠CDE＝90°

∵二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象对称轴为直线x＝1

∴xE＝1，yE＝k，即DE＝1，OD＝k

∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4

∴A（﹣1，0），B（3，0）

∵∠ECO＝135°

∴∠DCE＝45°

∴CD＝DE＝1

∴OC＝OD﹣CD＝k﹣1，即yC＝k﹣1

把点A（﹣1，0），C（0，k﹣1）代入二次函数解析式得：

解得：

∴二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3

（2）过P作PF⊥x轴于点F，如图2

∵A（﹣1，0），E（1，4）

∴OA＝DE＝1，OD＝4

在△AOM与△EDM中，

，

∴△AOM≌△EDM（AAS）

∴AM＝EM，OM＝DM＝OD＝2

∴S△AMN＝S△EMN

∵S△EAP＝3S△EMN

∴S△NAP＝S△EAP﹣S△AMN﹣S△EMN＝3S△EMN﹣2S△EMN＝S△EMN＝S△AMN

∴PG＝OM＝2

∵点P在第四象限

∴yP＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣2

解得：x1＝，x2＝（舍去）

∴点P坐标为（，﹣2）

（3）∵四边形PQMN为菱形

∴PQ∥MN，PN＝PQ＝MQ＝MN

∴点M、N必须同时在直线BC的上方或下方

过点P作PH⊥QM于点H，如图3

∵B（3，0），C（0，3）

∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，y随x的增大而减小

∴PQ不可能在y轴左侧

设P（p，﹣p+3），Q（p+t，﹣p﹣t+3）（p＞0，t＞0）

∴PH＝t，HQ＝﹣p+3﹣（﹣p﹣t+3）＝t

∴PQ＝

∵点M、N在二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上

∴N（p，﹣p2+2p+3），M（p+t，﹣（p+t）2+2（p+t）+3）

∴PN＝|﹣p2+2p+3﹣（﹣p+3）|＝|﹣p2+3p|，

MQ＝|﹣（p+t）2+2（p+t）+3）﹣（﹣p﹣t+3）|＝|﹣p2﹣2pt﹣t2+3p+3t|

且两绝对值号里的式子同正同负

∴﹣p2+3p＝﹣p2﹣2pt﹣t2+3p+3t＝

解得：，（舍去）,

（舍去），（舍去），

∴﹣p+3＝

∴点P坐标为（，）.