Question

18．某校九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，老师带学生开展测量物体高度的实践活动，要求测量他们学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进20米到达点D，又测得点A的仰角为45°．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．（计算过程和结果均不取近似值）

Answer 1

分析 首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=BC-BD=60构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．

解答 解：由已知，可得：∠ACB=30°，∠ADB=45°，
∴在Rt△ABD中，BD=AB．
又在Rt△ABC中，
∵tan30°=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即BC=$\sqrt{3}$AB．
∵BC=CD+BD，
∴$\sqrt{3}$AB=CD+AB，
即（$\sqrt{3}$-1）AB=20，
∴AB=10（$\sqrt{3}$+1）．
答：教学楼的高度为10（$\sqrt{3}$+1）米．

点评 本题考查了仰角与俯角的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．