Question

16、已知关于x的方程x²-2x+k=0有实数根x₁，x₂，且y=x₁³+x₂³，试问：y值是否有最大值或最小值，若有，试求出其值，若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：若一元二次方程有实数根，则根的判别式△≥0，由此可求出k的取值范围；依据根与系数的关系，可求出x₁+x₂及x₁x₂的表达式；然后将y的表达式化为含两根之和与两根之积的形式，即可得到关于y、k的关系式，联立k的取值范围，即可求得y的最小值．

解答：解：∵x²-2x+k=0有实数根，
∴2²-4k≥0；
∴k≤1；（1分）
∵x₁+x₂=2，x₁x₂=k，（2分）
∴y=x₁³+x₂³=（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]
=2（4-3k）=8-6k，即y=8-6k；（4分）
∵k≤1，∴-6k≥-6，（5分）
∴8-6k≥8-6=2；即y有最小值为2．（6分）

点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，能够正确得出关于y、k的关系式是解答此题的关键．