【题目】已知抛物线:=(为任意实数)
(1)无论取何值,抛物线恒过两点________,________.
(2)当时,设抛物线在第一象限依次经过整数点(横、纵坐标均为整数的点)为,….将抛物线沿直线平移,平移后的抛物线记为,抛物线经过点,的顶点为(,例如时,抛物线经过点,顶点为)
①抛物线的解析式为________;顶点坐标为________;
②在抛物线上是否存在点,使得?若存在,求出点的坐标,并判断四边形的形状;若不存在,请说明理由.
③直接写出线段的长________.
【答案】(1),;(2)①,;②存在,点坐标为;是矩形;③
【解析】
(1)由抛物线C的解析式,令的系数为0,得出的值,进而求出抛物线恒过的点的坐标;
(2)①当时,抛物线C可化简为,根据题意,格点(2,4),根据抛物线平移的性质,可设平移后的抛物线为(m>0),将(2,4)代入,即可得解;
②用待定系数法求出抛物线和直线解析式,假设存在点,使得,求出直线,联立直线和抛物线,即可求出P点坐标;根据两点间距离公式求出和,再结合勾股定理逆定理求出∠=90°,即可判定四边形为矩形;
③由题意可设,将其代入平移后的抛物线(m>0),求出m=2n-1,于是,同理得出,由两点间距离公式即可得解.
(1)=
令,
解得或
将代入抛物线C的解析式,得,
将代入抛物线C的解析式,得,
∴无论取何值,抛物线恒过两点,,
故答案为,;
(2)①当时,抛物线C:,
根据题意,A1(1,1),A2(2,4),
设平移后的抛物线为(m>0),
代入A2(2,4),得抛物线C2:
解得,m=0(舍)或m=3
∴抛物线的解析式为,顶点坐标为(3,3).
故答案为:,;
②将A1(1,1)代入(m>0),
得
解得,m=0(舍)或m=1
∴抛物线:,顶点坐标
设直线的解析式为:
分别将A2(2,4)和M2(3,3)代入得
,解得
∴直线:
假设存在点,使得,
设直线为,
将代入得,解得:t=2,
所以直线:
联立,
解得或(此点为M1)
∴存在点,使得,点坐标为;
∵,,
∴=,
又,
∴四边形是平行四边形,
又∵,,,
∴
∴∠=90°,
∴四边形是矩形;
③设,将其代入平移后的抛物线(m>0),
解得m=2n-1,于是,
同理可得:,
∴,
故答案为:.
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【题目】如图,在RtΔABC,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,动点M、N从点C同时出发,均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,MN,设移动时间为t(单位:秒,0<t<2.5).
(1)当t为何值时,ΔMCN面积为2cm?
(2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积为cm?若存在,求t的值,若不存在,请说明理由;
(3)当t为何值时,以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似?
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表所示,则下列结论中,正确的个数有( )
x | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 |
y | -27 | -13 | -3 | 3 | 5 | 3 |
①当x<-4时,y<3②当x=1时,y的值为-13;③-2是方程ax2+(b-2)x+c-7=0的一个根;④方程ax2+bx+c=6有两个不相等的实数根.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】如图,如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆恰好经过点D,交AC于点E,交AB于点F.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若BD=,BF=2,求阴影部分的面积 (直接填空).
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【题目】随着互联网的高速发展,人们的支付方式发生了巨大改变,某学习小组抽样调查了春节期间某商场顾客的支付方式,主要有现金支付、银联卡支付和手机支付,调查得知使用这三种支付的人数比为,手机支付已成为市民购物便捷支付方式.手机支付主要有以下三种方式:~支付宝,~微信,~其他.现将使用手机支付方式人数的调查结果绘制成如下不完整的统计图.
(1)扇形统计图中,________;请补全条形统计图;
(2)若该商场春节期间共20000人购物,请估计用支付宝进行支付的人数.
(3)经调查某天顾客现金支付、银联卡支付、手机支付每笔交易发生的平均金额分别为120元、260元、80元,求这天顾客每笔交易的平均金额.
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【题目】当今社会人们越来越离不开网络,电脑、手机被普遍使用,与此同时人们的视力也大大受到影响,2019年初某企业以25万元购得某项护目镜生产技术后,再投人100万元购买生产设备,进行该护目镜的生产加工,已知生产这种护目镜的成本价为每件20元,经过市场调研发现该产品的销售单价定在元比较合理,并且该产品的年销售量(万件)与销售单价 (元)之间的函数关系式为.(年获利=年销售收入-生产成本-投资成本)
(1)求该公司第一年的年获利(万元)与销售单价(元)之间的函数关系式,并说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损?若盈利,最大利润是多少?若亏损,最小亏损是多少?
(2)2020年初我国爆发新冠肺炎,该公司决定向红十字会捐款20万元,另外每销售一件产品,就抽出1元钱作为捐款,若除去第一年的最大盈利(或最小亏损)以及第二年的捐款后,到2020年底,两年的总盈利不低于57.5万元,请你确定此时销售单价的范围.
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【题目】如图1,在矩形中,,,沿对角线剪开,再把沿方向平移,得到图2,其中交于,交于.
(1)在图2中,除与外,指出还有哪几对全等三角形(不能添加辅助线和字母),并选择一对加以证明;
(2)设.①当为何值时,四边形是菱形?②设四边形的面积为,求的最大值.
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【题目】甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情.
(1)若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名,则所选的2名医护人员性别相同的概率是 ;
(2)若从支援的4名医护人员中随机选2名,用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率.
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【题目】定义:在平面直角坐标系中,点的坐标为,当时,点坐标为;当时,点坐标为,则称点为点的分变换点(其中为常数).例如:的0分变换点坐标为.
(1)点的1分变换点坐标为 ;点的1分变换点在反比例函数图像上,则 ;若点的1分变换点直线上,则 ;
(2)若点在二次函数的图像上,点为点的3分变换点.
①直写出点所在函数的解析式;
②求点所在函数的图像与直线交点坐标;
③当时,点所在函数的函数值,直接写出的取值范围;
(3)点,,若点在二次函数的图像上,点为点的分变换点.当点所在函数的图像与线段有两个公共点时,直接写出的取值范围.
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