Question

【题目】如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC＝2，∠ABC＝30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，点D的对应点为D′，连接D′B.若△D′BC为等边三角形，则DE＝____________．

Answer 1

【答案】2－2或＋1

【解析】先判断ABCD是菱形，根据菱形的性质可得：∠D=∠ABC=30°，∠BCD=150°，然后根据△D′BC为等边三角形，可得∠BCD′=60°，然后根据折叠的性质可得：△DCE≌△D′CE，进而可得∠DCE=45°，然后过点E作EF⊥CD，垂足为F，然后解直角三角形DEF即可求出DE的值．

①如图（1）所示，当点E在边AD上时． ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC＝2，∴四边形ABCD是菱形．

∵AB=2，∠ABC=30°，∴CD=AB=2，∠D=∠A=30°，∠BCD=150°．

∵△D′BC为等边三角形，∴∠BCD′=60°，∴∠DCD′=90°．

∵△CDE沿CE折叠，得到△CD′E，∴△DCE≌△D′CE，∴∠DCE=DCD′=45°，过点E作EF⊥CD，垂足为F，则∠CFE=90°，∴∠CEF=∠DCE=45°，∴CF=EF．在Rt△DEF中，∠D=30°，∴EF=DE，设EF=x，则DE=2x，CF=x，由勾股定理可得：FD=x．

∵CF+FD=CD=2，即x+=2，解得：x=，∴DE=2x=2﹣2．

②当点E在DA的延长线上时，如图（2），过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F．由折叠可知∠ED′C=∠D=30°，又∠BD′C=60°，所以D′E为∠BD′C的平分线．

又∵△BD′C是等边三角形，∴D′E⊥BC．

又∵AD∥BC，∴D′E⊥AD．

∵∠ABC=30°，∴∠BAF=30°．

又∵AB=2，∴AD=，令D′E与BC的交点为G，则易知EF=BG=BC=1，

∴AE=﹣1，∴DE=+1．

故答案为：2﹣2或+1．