Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上的一个动点（不与B点重合）．
（1）过动点D作射线DE交线段AB于点E，使∠BDE=∠A．设BD=x，AE=y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）以点D为圆心，DC长为半径作⊙D，当⊙D与AB边相切时，求线段BD的长．

Answer 1

分析 （1）证明△ABC∽△DBE，得$\frac{BC}{AB}=\frac{BE}{BD}$，代入即可得出y与x的函数关系式，再由x＞0，y＞0列不等式组求出x的取值；
（2）作辅助线，构建直角三角形，利用∠B的正弦列式，与勾股定理求出AM的长结合得：$\frac{x}{16-x}=\frac{3}{5}$，求出x的值，就是BD．

解答 解：（1）如图1，在△ABC与△DBE中，∠B=∠B，∠BDE=∠A，
∴△ABC∽△DBE，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BE}{BD}$，
∵BD=x，AE=y，
∴$\frac{16}{10}=\frac{10-y}{x}$，即$\frac{8}{5}=\frac{10-y}{x}$，
∴8x=50-5y，
∴$y=\frac{50-8x}{5}=10-\frac{8}{5}x$，
∵$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ y＞0\end{array}\right.$，
∴$0＜x＜\frac{50}{8}$，
∴0＜x＜$\frac{25}{4}$；
（2）如图2，设以D为圆心，CD长为半径的⊙D与AB相切于点F，连接DF，则DF⊥AB于点F，
设CD=x，
∴在Rt△BDF中，$sin∠B=\frac{DF}{BD}=\frac{CD}{BD}=\frac{x}{16-x}$，
又过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴$BM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×16=8$，
∴$AM=\sqrt{A{B^2}-B{M^2}}=\sqrt{{{10}^2}-{8^2}}=6$，
在Rt△ABM中，$sin∠B=\frac{AM}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{x}{16-x}=\frac{3}{5}$，
∴5x=48-3x，
∴$x=\frac{48}{8}=6$，
则BD=10．

点评 本题考查了切线的性质和相似三角形的性质与判定，还考查了等腰三角形的性质，与圆相结合，知识点较多，但难度不大；由切线定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系；此类题是常考题型．