Question

8．已知如图，∠MBC和∠NDC是四边形ABCD的外角，若∠BAD=α，∠BCD=β．
（1）如图1
①若α=50°，β=100°，则∠MBC+∠NDC=150度；
②若α+β=200°，则∠MBC+∠NDC=200度；
（2）BE是∠MBC的平分线，DF是∠NDC的平分线．
①如图2，若BE与DF交于点G，求∠EBC+∠CDF的度数（用含α，β的代数式表示）；
②如图3，若BE∥DF，请探求α与β之间的大小关系．

Answer 1

分析 （1）①利用角平分线的定义和四边形的内角和以及α+β=150°推导即可；②利用角平分线的定义和四边形的内角和以及α+β=200°推导即可；
（2）①利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可；②利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的外角的性质计算即可．

解答 解：（1）①在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°
∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，
∵α=50°，β=100°，
∴∠MBC+∠NDC=150，
故答案为：150°；
②在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°
∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，
∵α+β=200°，
∴∠MBC+∠NDC=200°，
故答案为：200；
（2）①如图1，连接BD，

由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG=$\frac{1}{2}$∠MBC，∠CDG=$\frac{1}{2}$∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG=$\frac{1}{2}$∠MBC+$\frac{1}{2}$∠NDC=$\frac{1}{2}$（∠MBC+∠NDC）=$\frac{1}{2}$（α+β），
②如图2，延长BC交DF于H，

由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠MBC，∠CDH=$\frac{1}{2}$∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH=$\frac{1}{2}$∠MBC+$\frac{1}{2}$∠NDC=$\frac{1}{2}$（∠MBC+∠NDC）=$\frac{1}{2}$（α+β），
∵BE∥DF，
∴∠DHC=∠EBC=$\frac{1}{2}$α，
∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH=∠BCD-∠DHB=β-∠DHB，
∴$\frac{1}{2}$α+β-$\frac{1}{2}$α=$\frac{1}{2}$（α+β），
∴α=β．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了平角的意义，四边形的内角和，三角形内角和，三角形的外角的性质，角平分线的意义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练．