Question

如图，在△AFC中，AF=AC，B是CF的中点，AH平分∠CAE，作CD⊥AH于D．
（1）证明：四边形ABCD是矩形．
（2）若BD交AC于O，证明：OB∥AF且OB=AF．
（3）若使四边形ABCD是正方形，需添加一个条件，请直接写出该条件．

Answer 1

证明：（1）在△AFC中，
∵AF=AC，
∴△ACF是等腰三角形，
∵B是CF的中点，
∴AB⊥FC，∠FAB=∠CAB，
∵AH是△AFC外角∠CAE的平分线，
∴∠EAH=∠CAH，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=180°=90°，
又∵AB⊥FC，CD⊥AH，
∴∠ABC=∠CDA=90°，
∴四边形ABCD为矩形；

（2）∴∠EAC=∠AFC+∠ACF，AH是∠CAE的平分线，∠AFC=∠ACF，
∴∠EAH=∠AFC，
∴AD∥FB，
∵FB=BC，AD=BC，
∴AD=FB，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴BD∥AF且BD=AF，
∴OB=AF，
∴OB∥AF且OB=AF；

（3）给出正确条件即可．
例如，当AB=FC时，四边形ABCD是正方形．
∵B是CF的中点，
∴BC=FC，
又∵AB=FC，
∴BC=AB，
又∵（1）四边形ABCD为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
分析：（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知AF=AC，CD⊥AH，所以求证∠BAD=90°，可以证明四边形ADCE为矩形；
（2）根据∠EAC=∠AFC+∠ACF，AH是∠CAE的平分线，∠AFC=∠ACF，可以求证AD∥FB，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，B是CF的中点，所以有AD=FB，可以证明四边形AFBD是平行四边形，由三角形中位线定理可以证明OB∥AF且OB=AF；
（3）给出正确条件即可．我们可以假设当AB=FC，由已知可得，BC=FC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得四边形ADCE为正方形．
点评：主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．有利于学生思维能力的训练．