Question

19．如图，把矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴正半轴、y轴正半轴上，将纸片沿AC折叠，得到点B的对应点B′．若OA=2，OC=3，则点B′的坐标为（-$\frac{10}{13}$，$\frac{15}{13}$）．

Answer 1

分析 首先过点B′作B′F⊥OA于F，由四边形OABC是矩形与折叠的性质，易证得△AEC是等腰三角形，然后在Rt△AEO中，利用勾股定理求得AE，OE的长，然后由平行线分线段成比例定理求得AF和B′F的长，即可得点B′的横坐标．

解答 解：如图，过点B′作B′F⊥OA于F，
∵四边形OABC是矩形，
∴OC∥AB，
∴∠ECA=∠CAB，
根据题意得：∠CAB=∠CAD，∠CDA=∠B=90°，
∴∠ECA=∠EAC，
∴EC=EA，
∵B（2，3），
∴AB′=AB=3，
设OE=x，则AE=EC=OC-OE=3-x，
在Rt△AOE中，AE²=OE²+OA²，
即（3-x）²=x²+4，
解得：x=$\frac{5}{6}$，
∴OE=$\frac{5}{6}$，AE=CE=$\frac{13}{6}$，
∵B′F⊥OA，OE⊥OA，
∴OE∥B′F，
∴$\frac{OA}{AF}=\frac{OE}{FB′}=\frac{AE}{AB′}$，
∴$\frac{2}{AF}=\frac{\frac{5}{6}}{FB′}=\frac{\frac{13}{6}}{3}$，
∴AF=$\frac{36}{13}$，B′F=$\frac{15}{13}$，
∴OF=AF-OA=$\frac{10}{13}$，
∴B（-$\frac{10}{13}$，$\frac{15}{13}$）．
故答案为：（-$\frac{10}{13}$，$\frac{15}{13}$）．

点评 此题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理等知识．此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．